Definice: Vlastní číslo matic splňuje

kde je vektor řešení pokud existuje tak ho nazveme vlastní vektor. Definice: Pro vektorový prostor nad a lineární zobrazení  je vlastní číslo zobrazení jakékoliv , pro které existuje vlastní vektor takový, že .

U s konečnou dimenzí můžeme reprezentovat maticí vzhledem k nějaké bázi prostoru .

Množina všech vlastních čísel matice je jejím spektrem.

Definice: Charakteristický polynom matice je .

Věta: Číslo je vlastní číslem matice je kořenem jejího charakteristického polynomu. Idea důkazu: vlastní číslo je jen a pouze když charakteristický polynom vyjde 0

Definice: Algebraická násobnost vlastního čísla matice je rovna násobnosti kořene v charakteristickém polynomu

Důsledek: Je-li algebraicky uzavřené, pak lze charakteristický polynom rozložit na lineární faktory dané kořeny.


Geometrický význam

Vlastní vektor je jediným (až na skalární násobek) směrem, který „nezakroutí“ — zůstává na stejné jednorozměrné přímce . Zobrazení jej pouze natáhne nebo stlačí (případně otočí o , pokud je ). Vlastní číslo určuje, o kolik se délka vlastního vektoru změní:

– Pokud , dochází k řízenému natažení ve směru .
– Pokud , je to komprese.
– Pokud , celá přímka se zplošťuje na nulový vektor.


Podobnost matic

Definice: Matice jsou podobné, pokud existuje regulární matice , že .

Věta: Podobné matice mají stejná vlastní čísla.

Definice: Matice je diagonalizovatelná, je-li podobná nějaké diagonální matici.

Věta: Diagonalizovatelná matice jde vyjádřit ve tvaru , kde je diagonální.

  • To se názývá spektrální rozklad
  • Sloupce odpovídají vlastním vektorům (v pořadí, v němž jsou vlastní čísla na diagonále )

Věta: Matice je diagonalizovatelná lineárně nezávislých vlastních vektorů.

Věta: Pokud má matice různých vlastních čísel tak je diagonalizovatelná.


Symetrické matice

Definice: Matice je symetrická když Vlastní čísla reálných symetrických matic jsou reálná

Věta: Pro každou symetrickou matici existuje ortogonální a diagonální takové, že .