Determinanty

Definice: Determinant matice $A\in T^{n\times n}$ je definován výrazem

$$\det (A)=\sum _{p\in S_n}sgn(p)\prod _{i=0}^n{a}_{i,p(i)}$$

kde $S_n$ je grupa permutací na $\{1,\dots ,n\}$ a $sgn(p)=(-1{)}^{\text{pocˇet inverzıˊ }p}$, tedy $x,y$ takových, že původně $x<y$ ale $p(x)>p(y)$.

Vzhledem k charakteru výběru všech permutací tak $\forall A\in T^{n\times n}:\det (A)=\det (A^T)$.

Věta: Determinant je lineárně závislý na každém jejím řádku a sloupci, tj. přenásobení řádku konstantou změní o násob dané konstanty determinant a matice kde $i$-tý řádek je součtem $b_{ij}$ a $c_{ij}$ tak je roven determinantům dvou matic kde každá má na $i$-tém řádku jen $b$, nebo $c$. Důkaz: Násobení

$$\sum _{p\in S_n}sgn(p)(t\cdot \prod _{i=0}^n{a}_{i,p(i)})=t\cdot \sum _{p\in S_n}sgn(p)\prod _{i=0}^n{a}_{i,p(i)}=t\cdot \det (A)$$

Sčítání, pokud $A,B,C$ splňují $a_{kj}=\{\begin{array}{rcl}{b}_{ij}+c_{ij}& \text{kdyzˇ}& k=i\\ b_{kj}=c_{kj}& \text{kdyzˇ}& k\ne i\end{array}$ pak

$$\begin{array}{rl}\det (A)& =\sum _{p\in S_n}sgn(p)\prod _{i=0}^n{a}_{i,p(i)}\\ & =\sum _{p\in S_n}(b_{i,p(i)}+c_{i,p(i)})sgn(p)\prod _{k\in \{1,\dots ,n\}\setminus i}{a}_{k,p(k)}\\ & =\sum _{p\in S_n}sgn(p)\prod _{i=0}^n{b}_{i,p(i)}+\sum _{p\in S_n}sgn(p)\prod _{i=0}^n{c}_{i,p(i)}\\ & =\det (B)\cdot \det (C)\end{array}$$

Poznámka k determinantům: Díky multilinearitě a alternaci determinantu z definice vyplývá i invariance při přičtení násobku jednoho řádku k jinému.

1. Multilinearita v každém řádku říká, že pokud v matici $A$ nahradíme $i$-tý řádek součtem

$$\text{(pu˚vodnıˊ }i\text{-tyˊ rˇaˊdek)}+t\cdot \text{(neˇjakyˊ }j\text{-tyˊ rˇaˊdek)},$$

tak

$$\det (A)=\det (\dots ,\underset{\text{novyˊ }i\text{-tyˊ rˇaˊdek}}{\underbrace{{\mathbf{r}}_i+t{\mathbf{r}}_j}},\dots )=\det (\dots ,{\mathbf{r}}_i,\dots )+t\det (\dots ,{\mathbf{r}}_j,\dots ).$$

2. Alternace říká, že pokud má matice dva stejné řádky, její determinant je nula. V druhém členu se $i$-tým i $j$-tým řádkem objeví stejný vektor ${\mathbf{r}}_j$, takže $$\det (\dots ,{\mathbf{r}}_j\text{(na mıˊsteˇ }i\text{)},{\mathbf{r}}_j\dots )=0.$$
3. Závěr: $$\det (\dots ,{\mathbf{r}}_i+t{\mathbf{r}}_j,\dots )=\det (\dots ,{\mathbf{r}}_i,\dots )+t\cdot 0=\det (A).$$

Analogicky pro sloupce díky symetrii definičního vzorce.

Důsledek: $\det (S)=0$ pro singulární matici $S$.

---

Multiplikativnost

Věta: Pro libovolné $A,B\in T^{n\times n}$ platí $\det (AB)=\det (A)\det (B)$ Důkaz: Obě jsou regulární jinak je důkaz triviální. Můžeme si všimnou, že součiny s elementárními maticemi zachovávají determinanty protože máme-li $E$, která způsobí

1. přičtení $i$-tého řádku k $j$-tému: $\det (E)=1$
2. vynásobení $i$-tého řádku $t$: $\det (E)=t$ Rozložíme regulární $A=E_1\cdots E_k$ a spočítáme

$$\det (E_1\cdots E_{k}B)=\det (E_1)\det (E_2\cdots E_{k}B)=\det (A)\det (B).$$

Důsledek: $\det (A^{-1})=\det (A{)}^{-1}$

---

Vlastní čísla a determinant

Definice: $\lambda$ je vlastním číslem $A$, právě tehdy když $\det (A-\lambda I_n)=0$, tedy když je kořenem charakteristického polynomu $p_A(t)=\det (A-t{I}_n)$.

Determinant matice je roven součinu vlastních čísel.

---

Laplaceův rozvoj determinantu

Pro notaci máme $A^{ij}$ jako podmatici $A$ bez $i$-tého řádku a $j$-tého sloupce.

Věta: Pro libovolné $A\in T^{n\times n}$ a jakékoliv $i\in \{1,2,\dots ,n\}$ platí

$$\det (A)=\sum _{j=0}^n{a}_{i,j}(-1{)}^{j+k}\det (A^{ij})$$

Důkaz:

1. Dělení podle hodnoty $p(i)$:
   Každá permutace $p$ přiřazuje řádku $i$ číslo $p(i)=j$ pro některé $j\in \{1,\dots ,n\}$. Rozdělíme sumu na části podle $j$:

$$\det (A)=\sum _{j=1}^n\sum _{\begin{array}{c}p\in S_n\\ p(i)=j\end{array}}\mathrm{sgn}(p)\prod _{k=1}^n{a}_{k,p(k)}.$$

2. Odstranění faktoru $a_{ij}$:
   V každém vnitřním součtu je ${\prod }_{k=1}^n{a}_{k,p(k)}=a_{ij}{\prod }_{k\ne i}{a}_{k,p(k)}$. Tedy

$$\det (A)=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\sum _{\begin{array}{c}p\in S_n\\ p(i)=j\end{array}}\mathrm{sgn}(p)\prod _{k\ne i}{a}_{k,p(k)}.$$

3. Redukce na menší permutace:
   Permutace $p$ s $p(i)=j$ odpovídá jednoznačně permutaci $q$ na množině $\{1,\dots ,n\}\setminus \{i\}$ do $\{1,\dots ,n\}\setminus \{j\}$. Přechod od $q$ k $p$ způsobí změnu znaménka o $(-1{)}^{i+j}$. Formálně:

$$\mathrm{sgn}(p)=(-1{)}^{i+j}\mathrm{sgn}(q).$$

Součin ${\prod }_{k\ne i}{a}_{k,p(k)}$ je právě determinant $\det (A^{ij})$ rozvinutý podle permutací $q$. 4. Složení:

$$\sum _{\begin{array}{c}p\in S_n\\ p(i)=j\end{array}}\mathrm{sgn}(p)\prod _{k\ne i}{a}_{k,p(k)}=(-1{)}^{i+j}\sum _{q\in S_{n-1}}\mathrm{sgn}(q)\prod _{k\ne i}{a}_{k,q(k)}=(-1{)}^{i+j}\det \left(A^{ij}\right).$$

5. Závěr:
   Dosazením zpět do bodu 2 dostáváme

$$\det (A)=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}[(-1{)}^{i+j}\det (A^{ij})]=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{i+j}{a}_{ij}\det (A^{ij}).$$

---

Geometrická interpretace determinantu

Objem rovnoběžnostěnu určeného $k$ vektory je roven absolutní hodnotě determinantu matice, jejíž sloupce tyto vektory tvoří

Po provedení lineárního zobrazení se objemy těles změní úměrně absolutní hodnotě determinantu matice zobrazení.