Vlastní čísla a vlastní vektory

Definice: Vlastní číslo $\lambda$ matic splňuje

$$Ax=\lambda x$$

kde $x$ je vektor řešení pokud existuje tak ho nazveme vlastní vektor. Definice: Pro vektorový prostor $V$ nad $T$ a lineární zobrazení $f:V\to V$ je vlastní číslo zobrazení $f$ jakékoliv $\lambda \in T$, pro které existuje vlastní vektor $v\in V\setminus \{0\}$ takový, že $f(v)=\lambda v$.

U $V$ s konečnou dimenzí můžeme $f$ reprezentovat maticí $A=[f{]}_{B,B}\in T^{n\times n}$ vzhledem k nějaké bázi $B$ prostoru $V$.

Množina všech vlastních čísel matice je jejím spektrem.

Definice: Charakteristický polynom matice je $p_A(x)=\det (A-x{I}_n)$.

Věta: Číslo $\lambda \in T$ je vlastní číslem matice $A$ $⟺$ $\lambda$ je kořenem jejího charakteristického polynomu. Idea důkazu: vlastní číslo je jen a pouze když charakteristický polynom vyjde 0

Definice: Algebraická násobnost vlastního čísla ${\lambda }_i$ matice $A$ je rovna násobnosti kořene ${\lambda }_i$ v charakteristickém polynomu $p_A(x)$

Důsledek: Je-li $T$ algebraicky uzavřené, pak lze charakteristický polynom rozložit na lineární faktory dané kořeny.

---

Geometrický význam

Vlastní vektor $v$ je jediným (až na skalární násobek) směrem, který $A$ „nezakroutí“ — zůstává na stejné jednorozměrné přímce $span(v)$. Zobrazení $A$ jej pouze natáhne nebo stlačí (případně otočí o $180^{\circ }$, pokud je $\lambda <0$). Vlastní číslo $\lambda$ určuje, o kolik se délka vlastního vektoru změní:

$$\Vert Av\Vert =|\lambda |\Vert v\Vert .$$

– Pokud $|\lambda |>1$, dochází k řízenému natažení ve směru $v$.
– Pokud $|\lambda |<1$, je to komprese.
– Pokud $\lambda =0$, celá přímka $span(v)$ se zplošťuje na nulový vektor.

---

Podobnost matic

Definice: Matice $A,B\in T^{n\times n}$ jsou podobné, pokud existuje regulární matice $R$, že $A=R^{-1}BR$.

Věta: Podobné matice mají stejná vlastní čísla.

Definice: Matice $A$ je diagonalizovatelná, je-li podobná nějaké diagonální matici.

Věta: Diagonalizovatelná matice $A$ jde vyjádřit ve tvaru $A=RD{R}^{-1}$, kde $D$ je diagonální.

• To se názývá spektrální rozklad
• Sloupce $R$ odpovídají vlastním vektorům (v pořadí, v němž jsou vlastní čísla na diagonále $D$)

Věta: Matice $A$ je diagonalizovatelná $⟺$ má $n$ lineárně nezávislých vlastních vektorů.

Věta: Pokud má matice $A$ $n$ různých vlastních čísel tak je diagonalizovatelná.

---

Symetrické matice

Definice: Matice je symetrická když $A=A^T$ Vlastní čísla reálných symetrických matic jsou reálná

Věta: Pro každou symetrickou matici $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ existuje ortogonální $Q\in R^{n\times n}$ a diagonální $D$ takové, že $A=QD{Q}^T$.