Definice: Nechť , a existuje tak, že . Derivace funkce v bodě je limita
Derivace zprava (resp. zleva) je odpovídající jednostranná limita pro (resp. ). Funkce je v diferencovatelná právě tehdy, když obě jednostranné derivace existují a jsou si rovny.
Definice: Derivace složené funkce:
Základní pravidla diferenciace:
- .
- pro konstantu .
- .
- (pro ).
- .
l’Hospitalovo pravidlo
Věta (l’Hospitalovo pravidlo): Nechť , mají vlastní derivace na a tamtéž.
- Pokud a , pak
- Pokud a , pak též
Důkaz:
Základní myšlenka:
Když mají funkce a v bodě stejný „typ“ neurčitosti (např. nebo ), jejich poměr se pro chová podobně jako poměr tečen k jejich grafům v bodě . Tečnu každé funkce popisuje derivace, proto lze limitu nahradit limitou .
Nechť . Vezmeme libovolné v prstencovém okolí a definujeme na intervalu (nebo , pokud ) pomocné funkce
Obě jsou spojité na uzavřeném intervalu a diferencovatelné na otevřeném, navíc . Podmínky Cauchyho věty o střední hodnotě (obecné MVT) říkají, že existuje bod mezi a tak, že
Protože a , máme
Když , bod leží mezi a , tedy . Z předpokladu
plyne
Pro případ stačí uvést substituci , a zredukovat limitu na , poté použít předchozí argument. Tím je důkaz kompletní.
Vyšetření průběhu funkcí
Definice: Funkce (interval ) má v bodě
- lokální minimum, pokud existuje takové, že ,
- lokální maximum, pokud .
Věta: (Lagrangeova) Nechť a funkce je spojitá na a diferencovatelná na . Pak existuje bod takový, že
Věta: (Derivace a monotonicita) Nechť je interval, je na spojitá a diferencovatelná na vnitřku.
- Pokud pro všechna ve vnitřku , pak je na (strictly) rostoucí.
- Pokud , pak je klesající.
- Případy , vedou k neklesající / nerostoucí.
Důkaz: Pro libovolná v aplikuje se Lagrangeova věta (Rolleova věta) na úsečku : existuje s
Pak z a znaménka plyne kladné či záporné dle potřeby.
Věta: (Konvexita a konkávita a druhá derivace) Nechť otevřený interval a má spojitou druhou derivaci.
- Je-li pro všechna , pak je konvexní na .
- Je-li , pak je konkávní.
Definice: Funkce má inflection point v právě tehdy, pokud existuje a graf mění konvexitu v .
Taylorův polynom (limitní forma)
Definice: Nechť , a má v okolí všechny derivace až do řádu . Taylorův polynom řádu v bodě je
Věta: (Charakterizace Taylorova polynomu) Pro takovou a platí
a je jediný polynom stupeň s touto vlastností.
Důkaz: Indukcí podle . Pro plyne z continuity. Při kroku z na aplikujeme l’Hospitalovo pravidlo na
a pak indukční předpoklad na zbylou limitu nižšího řádu. Unikátnost vyplývá z lemmatu, že pokud polynom stupně splňuje , pak .