Funkce více proměnných

Definice: Reálná funkce $n$ proměnných je

$$f:D\to \mathbb{R},D\subseteq {\mathbb{E}}_n.$$

Definice: Pro $f(x_1,\dots ,x_n)$ vezmeme

$${\varphi }_k(t)=f(x_1,\dots ,x_{k-1},t,x_{k+1},\dots ,x_n)$$

jako funkci kde je $x_k$ proměnná a zbytek je zafixovaný jako konstanty. Pak standartní derivace

$${\varphi }_k^{\prime }(t)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\varphi }_k(t+h)-{\varphi }_k(t)}{h}$$

je parciální derivací funkce $f$ v proměnné $x_k$ a značíme $\frac{\partial f(x_1,\dots ,x_n)}{\partial x_k}$.

Výpočet probíhá stejně jako ve funkci o jedné proměnné, kde se k ostatním zafixovaným parametrům chováme jako ke konstantám.

Příklad (2D):*

$$f(x,y)=x^{2}y+\sin (xy)$$ $$\frac{\partial f}{\partial x}=2xy+y\cos (xy),\frac{\partial f}{\partial y}=x^2+x\cos (xy)$$

Příklad (3D):*

$$f(x,y,z)=xyz+e^{xz}\sin (y)$$ $$\frac{\partial f}{\partial x}=yz+z{e}^{xz}\sin (y),\frac{\partial f}{\partial y}=xz+e^{xz}\cos (y),\frac{\partial f}{\partial z}=xy+x{e}^{xz}\sin (y)$$

---

Totální diferenciál

Pro $x\in {\mathbb{E}}_n$ definujeme $||x||={\max }_i|x_i|$. $h$ bude $n$-tice blízká nule. $\nabla f(x_1,\dots ,x_k)$ zveme gradientem funkce $f$ a je to vektor jejích parciálních derivací. Definice: Funkce $f$ má v bodě $a$ totální diferenciál, existuje-li funkce $\mu$ spojitá v okolí $U$ bodu $o\in {\mathbb{R}}^n$ taková, že $\mu (o)=0$ a čísla $A_1,A_2,\dots ,A_n$ pro která

$$f(a+h)-f(a)=\sum _{k=1}^n{A}_k{h}_k+||h||\mu (h).$$

S pomocí skalárního součinu to můžeme zapsat jako

$$f(a+h)-f(a)=Ah+||h||\mu (h).$$

Věta: Pokud má $f$ spojité parciální derivace v okolí bodu $a$, pak má v bodě totální diferenciál. Důsledek: Totální diferenciál implikuje spojitost a existenci všech parciálních derivací. Tvrzení: Nechť má funkce $f$ totální diferenciál v bodě $a$. Potom platí:

1. $f$ je spojitá v $a$,
2. f má všechny parciální derivace v $a$, a to s hodnotami $\frac{\partial f(a)}{\partial xk}=A_k$. Příklad:*

$$f(x,y,z)=x^2+y^{2}z+z^3$$ $$df=2xdx+y^{2}dz+2yzdy+3z^{2}dz=2xdx+2yzdy+(y^2+3z^2)dz$$

---

Hessova matice a extrémy

Definice: Nechť $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ má druhé parciální derivace v bodě $x$, pak Hessova matice je definována

$$(H_f(x){)}_{i,j}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}(x).$$

Použití: Pro klasifikaci stacionárního bodu funkce podle vlastností kvadratické formy:

• pozitivně definitní $⟹$ lokální minimum,
• negativně definitní $⟹$ lokální maximum,
• jinak $⟹$ sedlový bod.

Příklad:

$$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2xy-2yz$$

Stacionární bod: $\nabla f=(2x-2y,2y-2x-2z,2z-2y)=0\Rightarrow x=y=z$

$$H_f=\left[\begin{array}{ccc}2& -2& 0\\ -2& 2& -2\\ 0& -2& 2\end{array}\right]$$

• $\det (H_1)=2$
• $\det (H_2)=\left|\begin{array}{cc}2& -2\\ -2& 2\end{array}\right|=4-4=0$
• $\det (H_f)=2(2\cdot 2-(-2{)}^2)-(-2)(-2\cdot 2)=2(4-4)-4=-4$

---

Výpočet extrémů pomocí parciálních derivací

Definice: Bod $a$ je stacionární bod funkce $f$, pokud:

$$\nabla f(a)=\vec{0}$$

Postup hledání extrému funkce :

1. Spočteme $\nabla f$ a najdeme stacionární body.
2. Spočteme Hessovu matici.
3. Určíme charakter stacionárních bodů pomocí pozitivní/negativní definitnosti.

Příklad (3D):

$$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz$$

Stacionární body řešíme z rovnic:

$$\nabla f=(2x-y-z,2y-x-z,2z-x-y)=0$$

$\Rightarrow x=y=z$

---

Existence extrémů pro spojité funkce

Věta: Nechť $f:D\to \mathbb{R}$ je spojitá a $D\subseteq {\mathbb{R}}^n$ je kompaktní. Pak nabývá maxima i minima na $D$. Postup:

1. Hledáme stacionární body ve vnitřku $D$.
2. Prozkoumáme chování na hranici (např. parametrizací).
3. Porovnáme hodnoty ve všech kandidátech. Příklad:

$$f(x,y,z)=x+y+z,D=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid x^2+y^2+z^2\le 1\}$$

---

Lagrangeovy multiplikátory

Situace: Mějme za úkol hledat extrémy funkce $f(x_1,\dots ,x_n)$ za podmínky

$$g_1(x)=0,\dots ,g_k(x)=0$$

Věta: Nechť funkce $f,g_1,\dots ,g_n$ mají spojité parciální derivace a gradienty $\nabla g_1,\dots ,\nabla g_k$ jsou v bodě $x$ lineárně nezávislé. Pak existují čísla (Lagrangeovy multiplikátory) ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k$, že:

$$\nabla f(x)={\lambda }_1\nabla g_1+\cdots +{\lambda }_k\nabla g_k$$

s podmínkami $g_i(x)=0$. Postup řešení:

1. Zapsat $\nabla f=\sum {\lambda }_i\nabla g_i$
2. Spočteme derivace a sestavíme rovnici
3. Vyrobíme soustavu rovnic přidáním podmínek $g_i(x)=0$
4. Vyřešíme soustavu $x_i,{\lambda }_i$

Příklad (2D): Maximalizujte $f(x,y)=xy$ za podmínky $x^2+y^2=1$

$$g(x,y)=x^2+y^2-1\Rightarrow \nabla f=(y,x),\nabla g=(2x,2y)$$ $$y=2\lambda x,x=2\lambda y,x^2+y^2=1$$

$\Rightarrow \max =1/2,\min =-1/2$ Příklad (3D): Minimalizujte $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ za podmínky $x+y+z=1$

$$\nabla f=(2x,2y,2z),\nabla g=(1,1,1)$$ $$2x=\lambda ,2y=\lambda ,2z=\lambda \Rightarrow x=y=z=1/3$$