Derivace

Definice: Nechť $f:M\to \mathbb{R}$, $b\in M$ a existuje $\delta >0$ tak, že $U(b,\delta )\subseteq M$. Derivace funkce $f$ v bodě $b$ je limita

$$f^{\prime }(b):=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(b+h)-f(b)}{h}=\underset{x\to b}{\lim }\frac{f(x)-f(b)}{x-b}.$$

Derivace zprava (resp. zleva) je odpovídající jednostranná limita pro $h\to 0^{+}$ (resp. $h\to 0^{-}$). Funkce je v $b$ diferencovatelná právě tehdy, když obě jednostranné derivace existují a jsou si rovny.

Definice: Derivace složené funkce:

$$(f\circ g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x).$$

Základní pravidla diferenciace:

1. $(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$.
2. $(cf{)}^{\prime }=c{f}^{\prime }$ pro konstantu $c$.
3. $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$.
4. $(\frac{f}{g}{)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$ (pro $g\ne 0$).
5. $(f\circ g{)}^{\prime }=(f^{\prime }\circ g)g^{\prime }$.

---

l’Hospitalovo pravidlo

Věta (l’Hospitalovo pravidlo): Nechť $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, $f,g:P(a,\delta )\to \mathbb{R}$ mají vlastní derivace na $P(a,\delta )$ a $g^{\prime }(x)\ne 0$ tamtéž.

1. Pokud ${\lim }_{x\to a}f(x)={\lim }_{x\to a}g(x)=0$ a ${\lim }_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=A\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, pak $$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=A.$$
2. Pokud ${\lim }_{x\to a}|g(x)|=+\infty$ a ${\lim }_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=A\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, pak též $$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=A.$$

Důkaz:

Základní myšlenka:
Když mají funkce $f$ a $g$ v bodě $a$ stejný „typ“ neurčitosti (např. $0/0$ nebo $\infty /\infty$), jejich poměr se pro $x\to a$ chová podobně jako poměr tečen k jejich grafům v bodě $a$. Tečnu každé funkce popisuje derivace, proto lze limitu $\frac{f(x)}{g(x)}$ nahradit limitou $\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$.

Nechť ${\lim }_{x\to a}f(x)={\lim }_{x\to a}g(x)=0$. Vezmeme libovolné $x\ne a$ v prstencovém okolí a definujeme na intervalu $[a,x]$ (nebo $[x,a]$, pokud $x<a$) pomocné funkce

$$F(t)=f(t),G(t)=g(t).$$

Obě jsou spojité na uzavřeném intervalu a diferencovatelné na otevřeném, navíc $G^{\prime }\ne 0$. Podmínky Cauchyho věty o střední hodnotě (obecné MVT) říkají, že existuje bod $c$ mezi $a$ a $x$ tak, že

$$\frac{F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}=\frac{F^{\prime }(c)}{G^{\prime }(c)}=\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}.$$

Protože $F(a)=f(a)=0$ a $G(a)=g(a)=0$, máme

$$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}.$$

Když $x\to a$, bod $c$ leží mezi $a$ a $x$, tedy $c\to a$. Z předpokladu

$$\underset{c\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}=A$$

plyne

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{c\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}=A.$$

Pro případ $\infty /\infty$ stačí uvést substituci $\tilde{f}(t)=f(1/t)$, $\tilde{g}(t)=g(1/t)$ a zredukovat limitu $x\to a$ na $t\to 0$, poté použít předchozí argument. Tím je důkaz kompletní.

---

Vyšetření průběhu funkcí

Definice: Funkce $f:J\to \mathbb{R}$ (interval $J$) má v bodě $a$

• lokální minimum, pokud existuje $\delta >0$ takové, že $\forall x\in J\cap U(a,\delta ):f(x)\ge f(a)$,
• lokální maximum, pokud $\forall x\in J\cap U(a,\delta ):f(x)\le f(a)$.

Věta: (Lagrangeova) Nechť $-\infty <a<b<+\infty$ a funkce $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ je spojitá na $[a,b]$ a diferencovatelná na $(a,b)$. Pak existuje bod $c\in (a,b)$ takový, že

$$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Věta: (Derivace a monotonicita) Nechť $J\subseteq \mathbb{R}$ je interval, $f$ je na $J$ spojitá a diferencovatelná na vnitřku.

• Pokud $f^{\prime }(x)>0$ pro všechna $x$ ve vnitřku $J$, pak je $f$ na $J$ (strictly) rostoucí.
• Pokud $f^{\prime }(x)<0$, pak je $f$ klesající.
• Případy $f^{\prime }\ge 0$, $f^{\prime }\le 0$ vedou k neklesající / nerostoucí.
  Důkaz: Pro libovolná $a<b$ v $J$ aplikuje se Lagrangeova věta (Rolleova věta) na úsečku $[a,b]$: existuje $c\in (a,b)$ s

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c).$$

Pak z $b-a>0$ a znaménka $f^{\prime }(c)$ plyne $f(b)-f(a)$ kladné či záporné dle potřeby.

Věta: (Konvexita a konkávita a druhá derivace) Nechť $I\subset \mathbb{R}$ otevřený interval a $f:I\to \mathbb{R}$ má spojitou druhou derivaci.

• Je-li $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ pro všechna $x\in I$, pak je $f$ konvexní na $I$.
• Je-li $f^{\prime \prime }(x)\le 0$, pak je $f$ konkávní.

Definice: Funkce má inflection point v $a$ právě tehdy, pokud $f^{\prime }(a)$ existuje a graf mění konvexitu v $a$.

---

Taylorův polynom (limitní forma)

Definice: Nechť $a\in \mathbb{R}$, $n\in {\mathbb{N}}_0$ a $f$ má v okolí $a$ všechny derivace až do řádu $n$. Taylorův polynom řádu $n$ v bodě $a$ je

$$T_{f,a}^n(x)=\sum _{i=0}^n\frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a{)}^i.$$

Věta: (Charakterizace Taylorova polynomu) Pro takovou $f$ a $T(x)=T_{f,a}^n(x)$ platí

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-T(x)}{(x-a{)}^n}=0,$$

a $T$ je jediný polynom stupeň $\le n$ s touto vlastností.

Důkaz: Indukcí podle $n$. Pro $n=0$ plyne z continuity. Při kroku z $n-1$ na $n$ aplikujeme l’Hospitalovo pravidlo na
$\lim \frac{f(x)-T(x)}{(x-a{)}^n}$ a pak indukční předpoklad na zbylou limitu nižšího řádu. Unikátnost vyplývá z lemmatu, že pokud polynom $Q$ stupně $\le n$ splňuje $\lim Q(x)/(x-a{)}^n=0$, pak $Q\equiv 0$.