Definice: Náhodná veličina je funkce, která přiřazuje každému elementárnímu náhodnému jevu hodnotu. Pro diskrétní náhodnou veličinu definujeme pravděpodobnostní funkci

Spojité náhodné veličiny zapisujeme distribuční funkcí a hustotou.

Distribuční funkce náhodné veličiny je funkce definovaná . Tedy zjevně platí Vlastnosti:

  1. je neklesající
  2. je zprava spojitá Náhodná veličina se nazývá spojitou pokud existuje nezáporná reálná funkce taková, že . Taková se nazývá hustota.

Střední hodnota

Definice: Pro náhodnou veličinu definujeme střední hodnotu

  1. diskrétní ,
  2. spojitou .

Pravidlo naivního statistika

  1. diskrétní ,
  2. spojitou .

Věta: (Linearita střední hodnoty) . Vychází z PNS pro funkci .

Střední hodnota součinu nezávislých veličin

Věta: Pro nezávislé veličiny platí .

Markovova nerovnost

Pro platí .


Rozptyl

Definice: Rozptyl náhodné veličiny je definován . Definujeme také směrodatnou odchylku . Věta:

Rozptyl součtu nezávislých veličin je

Definice: Kovariance

  1. pro nezávislé je rovna kovariance nule
  2. korelace:

Rozptyl součtu libovolných náhodných veličin je pak


Konkrétní rozdělení

Bernoulliho rozdělení

  • Popis: Jeden pokus s pravděpodobností úspěchu .
  • PMF:
  • Střední hodnota:
  • Rozptyl:
  • Užití: Modeluje indikátorovou proměnnou (zda nastal jev).

Geometrické rozdělení

  • Popis: Počet pokusů do prvního úspěchu (vč. úspěchu).
  • PMF:
  • Střední hodnota:
  • Rozptyl:
  • Užití: Model čekací doby (počet pokusů, volání atd.)

Binomické rozdělení

  • Popis: Počet úspěchů v nezávislých pokusech s pravd. .
  • PMF:
  • Střední hodnota:
  • Rozptyl:
  • Užití: Výsledek opakovaných Bernoulliho pokusů (např. počet úspěchů).

Poissonovo rozdělení

  • Popis: Počet událostí v jednotkovém čase s intenzitou .
  • PMF:
  • Limita: .
  • Střední hodnota:
  • Rozptyl:
  • Užití: Náhodné příchozí události (zprávy, nehody, selhání).

Uniformní rozdělení

  • Popis: Rovnoměrné rozdělení na intervalu .
  • Hustota pravděpodobnosti:
  • Distribuční funkce:
  • Střední hodnota:
  • Rozptyl:
  • Užití: Model náhodného výběru z intervalu, Monte Carlo simulace.

Exponenciální rozdělení

  • Popis: Čekací doba mezi Poissonovými událostmi s intenzitou .
  • Hustota pravděpodobnosti:
  • Distribuční funkce:
  • Střední hodnota:
  • Rozptyl:
  • Užití: Model trvání do události (čekání, životnost).

Normální rozdělení

  • Popis: Gaussovo rozdělení – základní spojité rozdělení.
  • Hustota pravděpodobnosti:
  • Standardní: :
  • Transformace: Pokud , pak
  • Suma nezávislých:
  • Pravidlo 3σ:
  • Užití: Model šumu, chyby měření, centrální mezní věta.