Definice: Náhodná veličina je funkce, která přiřazuje každému elementárnímu náhodnému jevu hodnotu. Pro diskrétní náhodnou veličinu definujeme pravděpodobnostní funkci
Spojité náhodné veličiny zapisujeme distribuční funkcí a hustotou.
Distribuční funkce náhodné veličiny je funkce definovaná . Tedy zjevně platí Vlastnosti:
- je neklesající
- je zprava spojitá Náhodná veličina se nazývá spojitou pokud existuje nezáporná reálná funkce taková, že . Taková se nazývá hustota.
Střední hodnota
Definice: Pro náhodnou veličinu definujeme střední hodnotu
- diskrétní ,
- spojitou .
Pravidlo naivního statistika
- diskrétní ,
- spojitou .
Věta: (Linearita střední hodnoty) . Vychází z PNS pro funkci .
Střední hodnota součinu nezávislých veličin
Věta: Pro nezávislé veličiny platí .
Markovova nerovnost
Pro platí .
Rozptyl
Definice: Rozptyl náhodné veličiny je definován . Definujeme také směrodatnou odchylku . Věta:
Rozptyl součtu nezávislých veličin je
Definice: Kovariance
- pro nezávislé je rovna kovariance nule
- korelace:
Rozptyl součtu libovolných náhodných veličin je pak
Konkrétní rozdělení
Bernoulliho rozdělení
- Popis: Jeden pokus s pravděpodobností úspěchu .
- PMF:
- Střední hodnota:
- Rozptyl:
- Užití: Modeluje indikátorovou proměnnou (zda nastal jev).
Geometrické rozdělení
- Popis: Počet pokusů do prvního úspěchu (vč. úspěchu).
- PMF:
- Střední hodnota:
- Rozptyl:
- Užití: Model čekací doby (počet pokusů, volání atd.)
Binomické rozdělení
- Popis: Počet úspěchů v nezávislých pokusech s pravd. .
- PMF:
- Střední hodnota:
- Rozptyl:
- Užití: Výsledek opakovaných Bernoulliho pokusů (např. počet úspěchů).
Poissonovo rozdělení
- Popis: Počet událostí v jednotkovém čase s intenzitou .
- PMF:
- Limita: .
- Střední hodnota:
- Rozptyl:
- Užití: Náhodné příchozí události (zprávy, nehody, selhání).
Uniformní rozdělení
- Popis: Rovnoměrné rozdělení na intervalu .
- Hustota pravděpodobnosti:
- Distribuční funkce:
- Střední hodnota:
- Rozptyl:
- Užití: Model náhodného výběru z intervalu, Monte Carlo simulace.
Exponenciální rozdělení
- Popis: Čekací doba mezi Poissonovými událostmi s intenzitou .
- Hustota pravděpodobnosti:
- Distribuční funkce:
- Střední hodnota:
- Rozptyl:
- Užití: Model trvání do události (čekání, životnost).
Normální rozdělení
- Popis: Gaussovo rozdělení – základní spojité rozdělení.
- Hustota pravděpodobnosti:
- Standardní: :
- Transformace: Pokud , pak
- Suma nezávislých:
- Pravidlo 3σ:
- Užití: Model šumu, chyby měření, centrální mezní věta.