Náhodné veličiny a jejich rozdělení

Definice: Náhodná veličina je funkce, která přiřazuje každému elementárnímu náhodnému jevu hodnotu. Pro diskrétní náhodnou veličinu $X$ definujeme pravděpodobnostní funkci

$$p_X(x)=P(\{X=x\}).$$

Spojité náhodné veličiny zapisujeme distribuční funkcí a hustotou.

Distribuční funkce náhodné veličiny $X$ je funkce $F_X:\mathbb{R}\to [0,1]$ definovaná $F_X(x)=P(X\le x)$. Tedy zjevně platí $P(a<X\le b)=F_X(b)-F_X(a).$ Vlastnosti:

1. $F_X$ je neklesající
2. ${\lim }_{x\to +\infty }{F}_X(x)=1$
3. ${\lim }_{x\to -\infty }{F}_X(x)=0$
4. $F_X$ je zprava spojitá Náhodná veličina $X$ se nazývá spojitou pokud existuje nezáporná reálná funkce $f_X$ taková, že $F(x)=P(X\le x)={\int }_{-\infty }^x{f}_X\text{ d}t$. Taková $f_X$ se nazývá hustota.

---

Střední hodnota

Definice: Pro náhodnou veličinu $X$ definujeme střední hodnotu

1. diskrétní $\mathbb{E}(X)={\sum }_{x\in \mathrm{Im}(X)}x\cdot P(X=x)$,
2. spojitou $\mathbb{E}(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x{f}_X(x)\text{ d}x$.

Pravidlo naivního statistika

1. diskrétní $\mathbb{E}(g(X))={\sum }_{x\in \mathrm{Im}(X)}g(x)\cdot P(X=x)$,
2. spojitou $\mathbb{E}(g(X))={\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x)f_X(x)\text{ d}x$.

Věta: (Linearita střední hodnoty) $\mathbb{E}(aX+b)=a\mathbb{E}(X)+b$. Vychází z PNS pro funkci $g(x)=ax+b$.

Střední hodnota součinu nezávislých veličin

Věta: Pro nezávislé veličiny $X,Y$ platí $\mathbb{E}(XY)=\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)$.

Markovova nerovnost

Pro $X\ge 0,a>0$ platí $P(X\ge a)\le \frac{\mathbb{E}(X)}{a}$.

---

Rozptyl

Definice: Rozptyl náhodné veličiny $X$ je definován $var(X)=\mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X){)}^2)$. Definujeme také směrodatnou odchylku ${\sigma }_X=\sqrt{var(X)}$. Věta: $var(X)=\mathbb{E}(X^2)-\mathbb{E}(X{)}^2$

Rozptyl součtu nezávislých veličin je

$$var(X+Y)=var(X)+var(Y).$$

Definice: Kovariance $cov(X,Y)=\mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X))(Y-\mathbb{E}(Y)))$

1. $cov(X,X)=var(X)$
2. $cov(X,Y)=\mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)$
3. pro nezávislé je rovna kovariance nule
4. korelace: $\rho (X,Y)=\frac{cov(X,Y)}{{\sigma }_X\cdot {\sigma }_Y}$

Rozptyl součtu libovolných náhodných veličin je $X={\sum }_{i=1}^n{X}_i$ pak

$$var(X)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}cov(X_i,X_j).$$

---

Konkrétní rozdělení

Bernoulliho rozdělení $\mathrm{Ber}(p)$

• Popis: Jeden pokus s pravděpodobností úspěchu $p$.
• PMF:

$$P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,P(X=x)=0\text{ jinde.}$$

• Střední hodnota: $\mathbb{E}(X)=p$
• Rozptyl: $\mathrm{Var}(X)=p(1-p)$
• Užití: Modeluje indikátorovou proměnnou (zda nastal jev).

---

Geometrické rozdělení $\mathrm{Geom}(p)$

• Popis: Počet pokusů do prvního úspěchu (vč. úspěchu).
• PMF:

$$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p,k=1,2,\dots$$

• Střední hodnota: $\mathbb{E}(X)=1/p$
• Rozptyl: $\mathrm{Var}(X)=\frac{1-p}{p^2}$
• Užití: Model čekací doby (počet pokusů, volání atd.)

---

Binomické rozdělení $\mathrm{Bin}(n,p)$

• Popis: Počet úspěchů v $n$ nezávislých pokusech s pravd. $p$.
• PMF:

$$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,\dots ,n.$$

• Střední hodnota: $\mathbb{E}(X)=np$
• Rozptyl: $\mathrm{Var}(X)=np(1-p)$
• Užití: Výsledek opakovaných Bernoulliho pokusů (např. počet úspěchů).

---

Poissonovo rozdělení $\mathrm{Pois}(\lambda )$

• Popis: Počet událostí v jednotkovém čase s intenzitou $\lambda$.
• PMF:

$$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!},k=0,1,2,\dots$$

• Limita: $\mathrm{Pois}(\lambda )={\lim }_{n\to \infty }\mathrm{Bin}(n,\lambda /n)$.
• Střední hodnota: $\mathbb{E}(X)=\lambda$
• Rozptyl: $\mathrm{Var}(X)=\lambda$
• Užití: Náhodné příchozí události (zprávy, nehody, selhání).

---

Uniformní rozdělení $\mathrm{U}(a,b)$

• Popis: Rovnoměrné rozdělení na intervalu $[a,b]$.
• Hustota pravděpodobnosti:

$$f(x)=\frac{1}{b-a},x\in [a,b].$$

• Distribuční funkce:

$$F(x)=\frac{x-a}{b-a},x\in [a,b].$$

• Střední hodnota: $\mathbb{E}(X)=\frac{a+b}{2}$
• Rozptyl: $\mathrm{Var}(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12}$
• Užití: Model náhodného výběru z intervalu, Monte Carlo simulace.

---

Exponenciální rozdělení $\mathrm{Exp}(\lambda )$

• Popis: Čekací doba mezi Poissonovými událostmi s intenzitou $\lambda$.
• Hustota pravděpodobnosti:

$$f(x)=\lambda e^{-\lambda x},x\ge 0.$$

• Distribuční funkce:

$$F(x)=1-e^{-\lambda x},x\ge 0.$$

• Střední hodnota: $\mathbb{E}(X)=1/\lambda$
• Rozptyl: $\mathrm{Var}(X)=1/{\lambda }^2$
• Užití: Model trvání do události (čekání, životnost).

---

Normální rozdělení $\mathrm{N}(\mu ,{\sigma }^2)$

• Popis: Gaussovo rozdělení – základní spojité rozdělení.
• Hustota pravděpodobnosti:

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp (-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}).$$

• Standardní: $\mathrm{N}(0,1)$:

$$\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2},\Phi (x)={\int }_{-\infty }^x\varphi (t)dt.$$

• Transformace: Pokud $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$, pak

$$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1).$$

• Suma nezávislých:

$$X_i\sim N({\mu }_i,{\sigma }_i^2)⟹\sum X_i\sim N(\sum {\mu }_i,\sum {\sigma }_i^2).$$

• Pravidlo 3σ:
  $P(\mu \pm \sigma )\approx 0.68,P(\mu \pm 2\sigma )\approx 0.95,P(\mu \pm 3\sigma )\approx \mathrm{0.997.}$
• Užití: Model šumu, chyby měření, centrální mezní věta.