Pravděpodobnostní prostor, náhodné jevy, pravděpodobnost

Definice:

1. $\Omega$ je množina elementárních jevů
2. $F\subseteq \mathcal{P}(\Omega )$ je prostorem jevů, pokud
   1. $\varnothing ,\Omega \in F$
   2. $A\in F⟹A^c=\Omega \setminus A\in F$
   3. $A_1,A_2,\cdots \in F⟹\bigcup A_i\in F$
3. $P:F\to [0,1]$ je pravděpodobnost pokud
   1. $P(\Omega )=1$
   2. Pro po svou disjunktní jevy $P\left(\bigcup A_i\right)=\sum P(A_i)$ Příklady: Diskrétní, spojitý, geometrický

---

Základní pravidla pro počítání s pravděpodobností

• $P(A)+P(A^c)=1$
• $A\subseteq B⟹P(B\setminus A)=P(B)-P(A)⟹P(A)\le P(B)$
• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
• $P(A_1\cup A_2\cup \dots )\le {\sum }_{i}P(A_i)$

---

Nezávislost náhodných jevů

Definice: Jevy $A,B\in F$ jsou nezávislé pokud $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$.

Jevy v množině $M$ jsou nezávislé, pokud platí $\forall N\subseteq M$ konečnou platí $P\left(\bigcap N\right)={\prod }_{n\in N}P(n)$.

Definice: Pro $A,B\in F,P(B)>0$ definujeme podmíněnou pravděpodobnost $A$ při $B$ jako

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

Zjevně tedy platí $P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)=P(B\mid A)P(A)$.

Také platí

$$\begin{array}{r}P(A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n)=P(A_1)P(A_2\mid A_1)P(A_3\mid A_2\cap \\ A_1)\dots P(A_n\mid \bigcap _{i=1}^{n-1}{A}_i).\end{array}$$

Věta: (O úplné pravděpodobnosti) Mějme $B_1,B_2,\dots$ jako rozklad $\Omega$, pak $P(A)={\sum }_{i}P(A|B_i)P(B_i)$.

Bayesův vzorec: Mějme $B_1,B_2,\dots$ rozklad $\Omega$ pak

$$P(B_j\mid A)=\frac{P(B_j)\cdot P(A|B_j)}{{\sum }_{i}P(B_i)\cdot P(A|B_i)}.$$