Limitní věty

Zákon velkých čísel

Věta: Mějme $X_1,X_2,\dots$ nezávislé náhodné veličiny stejného rozdělení, se střední hodnotou $\mu$ a rozptylem ${\sigma }^2$. Označme ${\overline{X}}_n=\frac{X_1+X_2+\dots ,X_n}{n}$ jako výběrový průměr. Pak

1. Silný zákon velkých čísel říká, že platí

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\overline{X_n}=\mu \text{skoro jisteˇ, tedy s pravdeˇpodobnostıˊ }1$$

2. Slabý zákon velkých čísel říká, že $\forall ϵ>0$ platí

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P(|\overline{X_n}-\mu |>ϵ)=0$$

Říkáme, že pak posloupnost $\overline{X_n}$ konverguje v pravděpodobnosti.

---

Centrální limitní věta

Věta: Mějme $X_1,X_2,\dots$ nezávislé náhodné veličiny stejného rozdělení, se střední hodnotou $\mu$ a rozptylem ${\sigma }^2$. Označme $Y_n=\frac{(X_1+X_2+\dots ,X_n)-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}$ pak

$$Y_n\stackrel{d}{\to }N(0,1).$$

Neboli pokud $F_n$ je distribuční funkce $Y_n$ tak

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{F}_n(x)=\varphi (x)\text{pro kazˇdeˊ }x\in \mathbb{R}$$

Říkáme, že posloupnost $Y_n$ konverguje k $N(0,1)$ v distribuci.

Intuice: Vlastně to říká, že pro libovolné náhodné veličiny, když jich máme hodně tak se více a více přibližujeme k průměrnému hodu býti jako střední hodnota jedné této veličiny.