Sémantika

Definice: Model jazyka $\mathbb{P}$ je ohodnocení $v\in \{0,1{\}}^{|\mathbb{P}|}$ pravdivostních hodnot prvovýroků; říkáme, že $v$ je modelem formule $\phi$, zapisujeme $v\models \phi$, právě když pravdivostní funkce $f_{\phi ,\mathbb{P}}(v)=1$. Množinu všech modelů $\phi$ označíme $M(\phi )$.

Definice: Výrok $\phi$ je

1. pravdivý (tautologie), pokud $M(\phi )=M_{\mathbb{P}}$, tedy platí v každém modelu jazyka,
2. lživý (sporný), pokud $M(\phi )=\varnothing$, tedy nemá žádný model,
3. nezávislý, pokud $\varnothing ⊊M(\phi )⊊M$,
4. splnitelný, pokud $M(\phi )\ne \varnothing$.

Definice: Pro teorii $T\subseteq {\mathrm{VF}}_{\mathbb{P}}$ definujeme množinu jejích modelů $M(T)={\bigcap }_{\psi \in T}M(\psi )$. Říkáme, že $\phi$ je důsledek $T$ (zapisujeme $T\models \phi$), právě když každý model $T$ je modelem $\phi$, tj. $M(T)\subseteq M(\phi )$. $\phi$ je pravdivý v $T$, pokud pro všechna $v\in M(T)$ platí $v\models \phi$.

Teorie v konečném jazyce $P=\{p_1,\dots ,p_n\}$ má nejvýše $2^n$ modelů.

Modely $T$ získáme průnikem modelů jeho axiomatických formulí: $M(T)={\bigcap }_{\psi \in T}M(\psi )$.

Příklad: Nechť $T=\{p\vee q\vee r,q\to r,\neg r\}$.

1. $M(r)=\{(x,y,0)\mid x,y\in \{0,1\}\}$,
2. $M(r,q\to r)=\{(0,0,0),(1,0,0)\}$,
3. $M(T)=\{(1,0,0)\}$.