Definice: Vektorový prostor na tělesem je množina spolu s binární operací a operací skalárního násobku , kde
- je Abelovská grupa
Definice: Nechť je vektorový prostor nad , potom podprostor je neprázdná podmnožina splňující:
Definice: Podprostor prostoru je generovaný množinou je průnikem všech podprostorů z obsahujících . Značíme .
Definice: Lineární kombinace vektorů nad je libovolný vektor , kde .
Definice: Pro množinu vektorového prostoru nad tělesem je lineární obal (span) definován jako množina všech konečných lineárních kombinací prvků z :
Definice: Množina vektorů je lineárně nezávislá, právě když pro každou platí, že má pouze triviální řešení, . Jinak je taková množina lineárně závislá.
Definice: Množina se nazývá generující systém (systém generátorů) prostoru , pokud
To znamená, že každý vektor lze zapsat jako lineární kombinaci vektorů z .
Definice: Báze vektorové prostoru je lineárně nezávislá množina, která , tedy generuje .
Definice: Dimenze konečně generovaného vektorového prostoru je mohutnost kterékoliv z jeho bází. Značí se .
Definice: Nechť je uspořádaná báze vektorového prostoru nad . Pak vektor souřadnic vzhledem k bázi je
Poznámka:
- Každá báze je zároveň generujícím systémem, ale ne každý generující systém je nutně lineárně nezávislý.
- Generující systém bez přebytečných prvků (tj. žádný prvek nelze vyjádřit jako lin. komb. ostatních) je právě báze.
Steinitzova věta
Lemma: (O výměně) Nechť generuje vektorový prostor nad . Jestliže pro vektor existují a taková, že , kde pro nějaké , pak . Důkaz:
Jakékoli můžeme zapsat jako lineární kombinaci prvků z , pokud je v kombinaci , tak za něj jen dosadíme výraz výše a máme tedy jako kombinaci .
Věta: (Steinitzova) Nechť je konečná lineárně nezávislá množina ve vektorovém prostoru a generuje . Pak existuje taková, že
- Důkaz: Použijeme Lemma o výměně pro a . Protože je lineárně nezávislá, je pro nějaké Potom splňuje všechny 4 vlastnosti.
Vektorové podprostory
- Řádkový podprostor matice je span řádků v .
- Sloupcový podprostor je span sloupců v .
- Jádro (kernel) je
Definice: Hodnost matice je
Platí dimenze jádra:
Důkaz: Nechť . Vyberme bázi prostoru Doplňme ji na bázi celého prostoru přidáním vektorů .
Protože pro a je lineární, obrazy generují obraz matice . Navíc jsou lineárně nezávislé: pokud
pak
a tedy . Ale vektory spolu s tvoří bázi, takže musí být všechny .
Tedy