Definice: Skalární součin na vektorovém prostoru nad je zobrazení přiřazující dvojici vektorů skalár splňující axiomy

  1. , tedy jeho komplexně sdružené číslo

Pozorování: Pro skalární součin lineárních kombinací vektorů platí

Definice: Je-li prostor se skalárním součinem nad , či pak norma odvozená ze skalárního součinu je zobrazení .


Pythagorova věta

Věta: , kde je pravý úhel mezi a v trojúhelníku .

Cauchyho-Schwarzova nerovnost

Věta: Skalární součin libovolných dvou vektorů nad splňuje . Jinými slovy vzhledem k normě

Důkaz:

  1. Pro libovolné je
  1. Rozepíšeme pravou stranu:
  1. Zvolme Potom

a

  1. Dosazením do nerovnosti dostaneme

tj.

  1. Vezmeme druhou odmocninu a získáme

Trojúhelníková nerovnost

Věta: Každá norma odvozená ze skalárního součinu splňuje trojúhelníkovou nerovnost . Důkaz:


Ortonormální systémy vektorů

Definice: Vektory v prostoru se skalárním součinem jsou kolmé, pokud

označujeme .

Pozorování: Libovolná množina netriviálních vzájemně kolmých vektorů je lineárně nezávislá.

Definice: Ortonormální systém vektorů v prostoru se skalárním součinem splňuje

Definice: Pokud je takový systém navíc báze prostoru (tj. generuje ), nazýváme ho ortonormální bází.


Fourierovy koeficienty

Věta: Nechť je ortonormální báze konečně rozměrného prostoru . Pak pro každý platí

Koeficienty se nazývají Fourierovy koeficienty vektoru vzhledem k bázi . Důkaz: Je-li , pak pro pevné


Gramova–Schmidtova ortonormalizace

Algoritmus: Mějme bázi vektorového prostoru se skalárním součinem. Pro vypočteme:

Idea: Odečteme od jeho projekce na dosud ortonormované čímž zajistíme kolmost, a pak normalizujeme.


Ortogonální doplněk

Definice: Ortogonální doplněk podmnožiny prostoru se skalárním součinem je

Pozorování: Každý ortogonální doplněk je podprostorem .
Důkaz: Pokud pak pro libovolné a máme

takže a .

Pozorování: Pro každý podprostor platí

Důkaz: Kdyby , pak , takže .

Věta: Nechť má konečnou dimenzi a je podprostor. Potom

  1. ,
  2. .

Ortogonální projekce

Definice: Nechť je prostor se skalárním součinem a podprostor s ortonormální bází . Zobrazení

je ortogonální projekce na . Vlastnosti:

  • je lineární:
  • Pro každé :
  • je vektor v , který minimalizuje ; tj.

Projekce jako lineární zobrazení

Nechť je vektorový prostor se skalárním součinem a jeho podprostor. Ortogonální projekce

je zobrazení, které každému přiřadí jediné tak, že

tj. je „stínem“ na .

Vlastnosti

  1. Lineárnost:
    Pro všechna a platí
  1. Idempotence:

protože pokud už jsme v , další projekce nic nezmění. Formálně:

  1. Symetrie (pro ortogonální projekci):

To znamená, že je samoadjunktní operátor: .

Obraz a jádro

  • : každý výsledek leží v cílovém podprostoru.
  • : právě když leží kolmo na .

Díky tomu se rozkládá prostor jako přímý součet:

a pro každé máme jedinečný rozklad

Matice projekce

Pokud je ortonormální báze podprostor , pak pro libovolné

Vnější součinová forma matice projekce vůči této bázi vypadá:

kde je matice, jejíž sloupce jsou souřadnice . Tato matice splňuje

Geometrický význam

  • Minimalizace: je jediný vektor v , který minimalizuje vzdálenost .
  • Stínování: V geometrii „vrháme stín“ bodu na rovinu .

Ortogonální matice

Definice: Matice je ortogonální pokud . Věta: je ortogonální sloupce tvoří ortogonální bázi Tvrzení: Je-li ortogonální, pak

  1. je též ortogonální,
  2. existuje a je též ortogonální. Součin dvou ortogonálních matic dá zase ortogonální matici. Další vlastnosti:
  3. zobrazení zachovává úhly a délky
  4. matice zobrazení zachovávající skalární součin je ortogonální
  5. je ortogonální matice