Positivně semidefinitní a positivně definitní matice

Hermitovská matice

Definice: Matice $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ je hermitovská (self-adjoint), pokud

$$A=A^H,\text{tj.}{a}_{ij}=\overline{a_{ji}}\forall i,j.$$

Vlastnosti a vztah ke skalárnímu součinu

• Všechny diagonální prvky jsou reálné: $a_{ii}\in \mathbb{R}$.
• Pro vektory $u,v\in {\mathbb{C}}^n$ definuje

$$⟨u,v{⟩}_A:=u^{H}Av$$

bilineární (sesquilineární) tvar, který při $A=A^H$ splňuje

$$⟨v,u{⟩}_A=\overline{⟨u,v{⟩}_A}.$$

Charakterizace pozitivní definitnosti

Věta: Pro hermitovskou matici $A$ jsou ekvivalentní:

1. $A$ je pozitivně definitní, tj. $\forall v\ne 0:v^{H}Av>0$.
2. Všechna vlastní čísla ${\lambda }_i$ jsou kladná.
3. Existuje regulární matice $U$ tak, že

$$A=U^{H}U.$$

---

Choleského rozklad

Věta: Každá pozitivně definitní hermitovská matice $A$ má jedinečný rozklad

$$A=U^{H}U,$$

kde $U$ je horní trojúhelníková matice s kladnými prvky na diagonále. Tohoto rozkladu se využívá k efektivnímu řešení soustav $Ax=b$, výpočtu determinantu $\det (A)=({\prod }_i{u}_{ii}{)}^2$ a stabilní numerické lineární algebře.