Definice: Jednotková matice je matice kde všechny prvky jsou až na prvky na hlavní diagonále .
Definice: Součet matic je definován
Definice: Součin matic , je definován
Definice: Hodnost matice je rovna počtu pivotů v libovolné v tvaru.
Definice: Pokud tak existuje taková, že , pak značíme a nazýváme ji inverzní. Má-li inverzní matici pak ji nazveme regulární, jinak ji zveme singulární.
Věta: Následující tvrzení o jsou ekvivalentní
- A je regulární, tedy existuje inverzní matice.
- .
- Soustava má pouze triviální řešení .
Důkaz: z Gauss-Jordanovi eliminace. je v REF.
Rozdělíme na vektory s na -tém místě, pro všechna spočteme a to nám dá z řešení Pokud by byl menší než , tak by pak nějaký řádek mohl být eliminován ostatními řádky, tedy nemá řešení a tedy spor.
Obecně platí Důkaz: Nechť . Vyberme bázi prostoru Doplňme ji na bázi celého prostoru přidáním vektorů .
Protože pro a je lineární, obrazy generují obraz matice . Navíc jsou lineárně nezávislé: pokud
pak
a tedy . Ale vektory spolu s tvoří bázi, takže musí být všechny .
Tedy