Definice: Jednotková matice je matice kde všechny prvky jsou až na prvky na hlavní diagonále .

Definice: Součet matic je definován

Definice: Součin matic , je definován

Definice: Hodnost matice je rovna počtu pivotů v libovolné v tvaru.

Definice: Pokud tak existuje taková, že , pak značíme a nazýváme ji inverzní. Má-li inverzní matici pak ji nazveme regulární, jinak ji zveme singulární.

Věta: Následující tvrzení o jsou ekvivalentní

  1. A je regulární, tedy existuje inverzní matice.
  2. .
  3. Soustava má pouze triviální řešení . Důkaz: z Gauss-Jordanovi eliminace. je v REF. Rozdělíme na vektory s na -tém místě, pro všechna spočteme a to nám dá z řešení Pokud by byl menší než , tak by pak nějaký řádek mohl být eliminován ostatními řádky, tedy nemá řešení a tedy spor.
    Obecně platí Důkaz: Nechť . Vyberme bázi prostoru Doplňme ji na bázi celého prostoru přidáním vektorů .

Protože pro a je lineární, obrazy generují obraz matice . Navíc jsou lineárně nezávislé: pokud

pak

a tedy . Ale vektory spolu s tvoří bázi, takže musí být všechny .
Tedy