Matice

Definice: Jednotková matice $I_n\in T^{n\times n}$ je matice kde všechny prvky jsou $0$ až na prvky na hlavní diagonále $(I_n{)}_{i,i}=1$.

Definice: Součet matic $A,B\in T^{n\times m}$ je $(A+B)\in T^{n\times m}$ definován

$$(A+B{)}_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j}.$$

Definice: Součin matic $A\in T^{m\times n}$, $B\in T^{n\times p}$ je $(AB)\in T^{m\times p}$ definován

$$(AB{)}_{i,j}=\sum _{k=0}^n{a}_{i,k}{b}_{k,j}.$$

Definice: Hodnost matice $A$ je $rank(A)$ rovna počtu pivotů v libovolné $A\sim \sim A^{\prime }$ v $REF$ tvaru.

Definice: Pokud $A\in T^{n\times n}$ tak existuje $B\in T^{n\times n}$ taková, že $AB=I_n$, pak $B$ značíme $A^{-1}$ a nazýváme ji inverzní. Má-li $A$ inverzní matici pak ji nazveme regulární, jinak ji zveme singulární.

Věta: Následující tvrzení o $A\in T^{n\times n}$ jsou ekvivalentní

1. A je regulární, tedy existuje inverzní matice.
2. $rank(A)=n$.
3. $A\sim \sim I_n$
4. Soustava $Ax=0$ má pouze triviální řešení $x=0$. Důkaz: $2.⟹3.$ z Gauss-Jordanovi eliminace. $3.⟹2.$ $I_n$ je v REF. $2.⟹1.$ Rozdělíme $I_n$ na $e_1,\dots ,e_n$ vektory s $1$ na $i$-tém místě, pro všechna $i$ spočteme $A{x}_i=e_i$ a to nám dá z $rank(A)=n$ řešení $A^{-1}=(x_1|\dots |x_n).$ $1.⟹2.$ Pokud by $rank(A)$ byl menší než $n$, tak by pak nějaký řádek mohl být eliminován ostatními řádky, tedy $A{x}_i=e_i$ nemá řešení a tedy spor. $2⟺4$
   Obecně platí $\dim (\ker (A))=n-\mathrm{rank}(A).$ Důkaz: Nechť $\dim \ker (A)=k$. Vyberme bázi $\{v_1,\dots ,v_k\}$ prostoru $\ker (A).$ Doplňme ji na bázi celého prostoru ${\mathbb{R}}^n$ přidáním vektorů $\{v_{k+1},\dots ,v_n\}$.

Protože $A{v}_i=0$ pro $i\le k$ a $A$ je lineární, obrazy $\{A{v}_{k+1},\dots ,A{v}_n\}$ generují obraz matice $A$. Navíc jsou lineárně nezávislé: pokud

$$\sum _{i=k+1}^n{\alpha }_{i}A{v}_i=0,$$

pak

$$A\left(\sum _{i=k+1}^n{\alpha }_i{v}_i\right)=0$$

a tedy ${\sum }_{i=k+1}^n{\alpha }_i{v}_i\in \ker (A)$. Ale vektory $v_{k+1},\dots ,v_n$ spolu s $v_1,\dots ,v_k$ tvoří bázi, takže musí být všechny ${\alpha }_i=0$.
Tedy

$$\mathrm{rank}(A)=\dim (\mathrm{Im}(A))=n-k⟹k=n-\mathrm{rank}(A).$$