Definice: Vektorový prostor $(V, +, \cdot)$ na tělesem $(T, +, \cdot)$ je množina $V$ spolu s binární operací $+ : V \times V \to V$ a operací skalárního násobku $\cdot : T \times V \to V$ , kde

$(V, +)$ je Abelovská grupa
$\forall a, b \in T, \forall v \in V : (a \cdot b) \cdot v = a \cdot (b \cdot v)$
$\forall v \in V : 1 \cdot v = v$
$\forall a, b \in T, v \in V : (a + b) \cdot v = (a \cdot v) + (b \cdot v)$
$\forall a \in T, \forall v, w \in V : a \cdot (v + w) = a \cdot v + a \cdot w$

Definice: Nechť $V$ je vektorový prostor nad $T$ , potom podprostor $U$ je neprázdná podmnožina $V$ splňující:

$\forall u, v \in U : u + v \in U$
$\forall t \in T, \forall u \in U : t u \in U$

Definice: Podprostor prostoru $V$ je generovaný množinou $M$ je průnikem všech podprostorů $U$ z $V$ obsahujících $M$ . Značíme $s p an (M)$ .

Definice: Lineární kombinace vektorů $v_{1}, \dots, v_{k} \in V$ nad $T$ je libovolný vektor $u = \sum_{i = 1}^{k} a_{i} v_{i}$ , kde $a_{i} \in T$ .

Definice: Pro množinu $M \subseteq V$ vektorového prostoru $V$ nad tělesem $T$ je lineární obal (span) definován jako množina všech konečných lineárních kombinací prvků z $M$ :

span (M) = {i = 1 \sum k a_{i} v_{i} ∣ k \in N, v_{i} \in M, a_{i} \in T} .

Definice: Množina vektorů je lineárně nezávislá, právě když pro každou $n -tici$ $v_{1}, \dots, v_{n} \in B$ platí, že $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} v_{i} = 0$ má pouze triviální řešení, $a_{1} = \dots = a_{n} = 0$ . Jinak je taková množina lineárně závislá.

Definice: Množina $M \subseteq V$ se nazývá generující systém (systém generátorů) prostoru $V$ , pokud

span (M) = V .

To znamená, že každý vektor $v \in V$ lze zapsat jako lineární kombinaci vektorů z $M$ .

Definice: Báze $B$ vektorové prostoru $V$ je lineárně nezávislá množina, která $s p an (B) = V$ , tedy generuje $V$ .

Definice: Dimenze konečně generovaného vektorového prostoru $V$ je mohutnost kterékoliv z jeho bází. Značí se $d im (V)$ .

Definice: Nechť $B$ je uspořádaná báze vektorového prostoru $V$ nad $T$ . Pak vektor souřadnic $v$ vzhledem k bázi $B$ je

[v]_{B} = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})^{T} \in T^{n}, kde v = i = 1 \sum n a_{i} b_{i} .

Poznámka:

Každá báze je zároveň generujícím systémem, ale ne každý generující systém je nutně lineárně nezávislý.
Generující systém bez přebytečných prvků (tj. žádný prvek nelze vyjádřit jako lin. komb. ostatních) je právě báze.

Steinitzova věta

Lemma: (O výměně) Nechť $C$ generuje vektorový prostor $V$ nad $T$ . Jestliže pro vektor $v \in V$ existují $c_{1}, \dots, c_{n} \in C$ a $a_{1}, \dots, a_{n} \in T$ taková, že $v = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} c_{i}$ , kde $a_{i} \neq = 0$ pro nějaké $i$ , pak $s p an ((C ∖ {c_{i}}) \cup v) = V$ . Důkaz:

v = a_{1} c_{1} + \dots + a_{n} c_{n} ⟹ c_{i} = \frac{1}{a _{i}} v - k \neq = i \sum a_{k} c_{k}

Jakékoli $u \in V$ můžeme zapsat jako lineární kombinaci prvků z $C$ , pokud je v kombinaci $c_{i}$ , tak za něj jen dosadíme výraz výše a máme tedy $u$ jako kombinaci $(C ∖ {c_{i}}) \cup v$ .

Věta: (Steinitzova) Nechť $B$ je konečná lineárně nezávislá množina ve vektorovém prostoru $V$ a $C$ generuje $V$ . Pak existuje $D$ taková, že

$s p an (D) = V$
$B \subseteq D$
$∣ D ∣ = ∣ C ∣$
$D ∖ B \subseteq C$ Důkaz: Použijeme Lemma o výměně pro $b$ a $D^{'} = {d_{1}, \dots, d_{n}}$ . Protože $B$ je lineárně nezávislá, je $a_{i} \neq = 0$ pro nějaké $d_{i} \in D^{'} ∖ B .$ Potom $D = (D^{'} ∖ {d_{i}}) \cup b$ splňuje všechny 4 vlastnosti.

Vektorové podprostory

Řádkový podprostor matice $A \in T^{m \times n}$ je span řádků $A$ v $T^{n}$ .
Sloupcový podprostor je span sloupců $A$ v $T^{m}$ .
Jádro (kernel) je

ker (A) = {x \in T^{n} ∣ A x = 0} .

Definice: Hodnost matice $A$ je

rank (A) = dim (RowSpace (A)) = dim (ColSpace (A)) .

Platí dimenze jádra:

dim (ker A) = n - rank (A) .

Důkaz: Nechť $dim (ker (A)) = k$ . Vyberme bázi ${v_{1}, \dots, v_{k}}$ prostoru $ker (A) .$ Doplňme ji na bázi celého prostoru $R^{n}$ přidáním vektorů ${v_{k + 1}, \dots, v_{n}}$ .

Protože $A v_{i} = 0$ pro $i \leq k$ a $A$ je lineární, obrazy ${A v_{k + 1}, \dots, A v_{n}}$ generují obraz matice $A$ . Navíc jsou lineárně nezávislé: pokud

i = k + 1 \sum n α_{i} A v_{i} = 0,

pak

A (i = k + 1 \sum n α_{i} v_{i}) = 0

a tedy $\sum_{i = k + 1}^{n} α_{i} v_{i} \in ker (A)$ . Ale vektory $v_{k + 1}, \dots, v_{n}$ spolu s $v_{1}, \dots, v_{k}$ tvoří bázi, takže musí být všechny $α_{i} = 0$ .
Tedy

rank (A) = dim (Im (A)) = n - k ⟹ k = n - rank (A) .

Osobní stránka

Explorer

Vektorové prostory

Steinitzova věta

Vektorové podprostory

Graph View

Table of Contents

Backlinks