Skalární součin

Definice: Skalární součin na vektorovém prostoru $V$ nad $\mathbb{C}$ je zobrazení $\forall u,v\in V:⟨u|v⟩\in \mathbb{C}$ přiřazující dvojici vektorů skalár splňující axiomy

1. $\forall u\in V:⟨u|u⟩\in {\mathbb{R}}_0^{+}$
2. $\forall u\in V:⟨u|u⟩=0⟺u=0$
3. $\forall u,v\in V:⟨u|v⟩=\overline{⟨v|u⟩}$, tedy jeho komplexně sdružené číslo
4. $\forall u,v,w\in V:⟨u+v|w⟩\le ⟨u|w⟩+⟨v|w⟩$
5. $\forall u,v\in V,\forall t\in \mathbb{C}:⟨tu|v⟩=t⟨u|v⟩$

Pozorování: Pro skalární součin lineárních kombinací vektorů platí

$$⟨\sum _{i=1}^k{a}_i{u}_i|\sum _{j=0}^l{b}_j{v}_j⟩=\sum _{i=1}^k\sum _{j=0}^l{a}_i\overline{b_j}⟨u_i|v_j⟩$$

Definice: Je-li $V$ prostor se skalárním součinem nad $\mathbb{C}$, či $\mathbb{R}$ pak norma odvozená ze skalárního součinu je zobrazení $||u||=\sqrt{⟨u|u⟩}$.

---

Pythagorova věta

Věta: $a,b,c\in \mathbb{R}:c^2=a^2+b^2$, kde je pravý úhel mezi $a$ a $b$ v trojúhelníku $abc$.

Cauchyho-Schwarzova nerovnost

Věta: Skalární součin libovolných dvou vektorů $u,v\in V$ nad $\mathbb{C}$ splňuje $|⟨u,v⟩|\le \sqrt{⟨u,u⟩⟨v,v⟩}$. Jinými slovy vzhledem k normě

$$|⟨u,v⟩|\le ||u||\cdot ||v||.$$

Důkaz:

1. Pro libovolné $\lambda \in \mathbb{C}$ je

$$0\le \Vert u-\lambda v{\Vert }^2=⟨u-\lambda v,u-\lambda v⟩.$$

2. Rozepíšeme pravou stranu:

$$\Vert u-\lambda v{\Vert }^2=⟨u,u⟩-\overline{\lambda }⟨u,v⟩-\lambda ⟨v,u⟩+|\lambda {|}^2⟨v,v⟩.$$

3. Zvolme $\lambda =\frac{⟨v,u⟩}{⟨v,v⟩}.$ Potom

$$-\overline{\lambda }⟨u,v⟩-\lambda ⟨v,u⟩=-2|⟨u,v⟩{|}^2/⟨v,v⟩,$$

a

$$|\lambda {|}^2⟨v,v⟩=|⟨u,v⟩{|}^2/⟨v,v⟩.$$

4. Dosazením do nerovnosti $0\le \Vert u-\lambda v{\Vert }^2$ dostaneme

$$0\le ⟨u,u⟩-\frac{|⟨u,v⟩{|}^2}{⟨v,v⟩},$$

tj.

$$|⟨u,v⟩{|}^2\le ⟨u,u⟩⟨v,v⟩.$$

5. Vezmeme druhou odmocninu a získáme

$$|⟨u,v⟩|\le \Vert u\Vert \cdot \Vert v\Vert .$$

Trojúhelníková nerovnost

Věta: Každá norma odvozená ze skalárního součinu splňuje trojúhelníkovou nerovnost $||u+v||\le ||u||+||v||$. Důkaz:

$$\begin{array}{r}||u+v||=\sqrt{⟨u+v|u+v⟩}=\sqrt{⟨u|u⟩+⟨u|u⟩+⟨v|u⟩+⟨u|v⟩}\le \\ \\ \le \sqrt{||u|{|}^2+2|⟨u|v⟩|+||v|{|}^2}\le \sqrt{||u|{|}^2+2||u|\cdot ||v||+||v|{|}^2}=||u||\cdot ||v||\end{array}$$

---

Ortonormální systémy vektorů

Definice: Vektory $u,v$ v prostoru se skalárním součinem jsou kolmé, pokud

$$⟨u\mid v⟩=0,$$

označujeme $u\perp v$.

Pozorování: Libovolná množina netriviálních vzájemně kolmých vektorů je lineárně nezávislá.

Definice: Ortonormální systém $(b_i{)}_{i\in I}$ vektorů v prostoru $V$ se skalárním součinem splňuje

$$⟨b_i\mid b_j⟩=0(i\ne j),\Vert b_i\Vert =1(\forall i).$$

Definice: Pokud je takový systém navíc báze prostoru $V$ (tj. generuje $V$), nazýváme ho ortonormální bází.

---

Fourierovy koeficienty

Věta: Nechť $B=(b_1,\dots ,b_n)$ je ortonormální báze konečně rozměrného prostoru $V$. Pak pro každý $v\in V$ platí

$$v=\sum _{i=1}^n⟨v\mid b_i⟩b_i.$$

Koeficienty $⟨v\mid b_i⟩$ se nazývají Fourierovy koeficienty vektoru $v$ vzhledem k bázi $B$. Důkaz: Je-li $v={\sum }_i{a}_i{b}_i$, pak pro pevné $j$

$$⟨v\mid b_j⟩=\sum _i{a}_i⟨b_i\mid b_j⟩=a_j.$$

---

Gramova–Schmidtova ortonormalizace

Algoritmus: Mějme bázi $b_1,\dots ,b_n$vektorového prostoru $V$ se skalárním součinem. Pro $i=1,\dots ,n$ vypočteme:

$$c_i=b_i-\sum _{j=1}^{i-1}⟨b_i,b_j^{\prime }⟩b_j^{\prime },b_i^{\prime }=\frac{c_i}{\Vert c_i\Vert }.$$

Idea: Odečteme od $b_i$ jeho projekce na dosud ortonormované $b_1^{\prime },\dots ,b_{i-1}^{\prime },$ čímž zajistíme kolmost, a pak normalizujeme.

---

Ortogonální doplněk

Definice: Ortogonální doplněk podmnožiny $V$ prostoru $U$ se skalárním součinem je

$$V^{\perp }=\{u\in U\mid \forall v\in V:⟨u,v⟩=0\}.$$

Pozorování: Každý ortogonální doplněk je podprostorem $U$.
Důkaz: Pokud $u\perp v$ pak pro libovolné $t\in \mathbb{R}$ a $v\in V$ máme

$$⟨tu,v⟩=t⟨u,v⟩=0,⟨u+w,v⟩=⟨u,v⟩+⟨w,v⟩=0,$$

takže $tu\in V^{\perp }$ a $u+w\in V^{\perp }$.

Pozorování: Pro každý podprostor $V\subseteq U$ platí

$$V\cap V^{\perp }=\{0\}.$$

Důkaz: Kdyby $u\in V\cap V^{\perp }$, pak $⟨u,u⟩=0$, takže $u=0$.

Věta: Nechť $U$ má konečnou dimenzi a $V\subseteq U$ je podprostor. Potom

1. $(V^{\perp }{)}^{\perp }=V$,
2. $\dim V+\dim V^{\perp }=\dim U$.

---

Ortogonální projekce

Definice: Nechť $U$ je prostor se skalárním součinem a $V\subseteq U$ podprostor s ortonormální bází $b_1,\dots ,b_n$. Zobrazení

$$p_V:U\to V,p_V(u)=\sum _{i=1}^n⟨u,b_i⟩b_i$$

je ortogonální projekce $U$ na $V$. Vlastnosti:

• $p_V$ je lineární:

$$p_V(tu)=t{p}_V(u),p_V(u+v)=p_V(u)+p_V(v).$$

• Pro každé $i$:

$$u-p_V(u)\perp b_i.$$

• $p_V(u)$ je vektor v $V$, který minimalizuje $\Vert u-v\Vert$; tj.

$$\Vert u-p_V(u)\Vert \le \Vert u-v\Vert \forall v\in V.$$

---

Projekce jako lineární zobrazení

Nechť $U$ je vektorový prostor se skalárním součinem a $V\subseteq U$ jeho podprostor. Ortogonální projekce

$$p_V:U\to V$$

je zobrazení, které každému $u\in U$ přiřadí jediné $v\in V$ tak, že

$$u-v\in V^{\perp },$$

tj. $v$ je „stínem“ $u$ na $V$.

Vlastnosti

1. Lineárnost:
   Pro všechna $u,w\in U$ a $a\in \mathbb{R}$ platí

$$p_V(u+w)=p_V(u)+p_V(w),p_V(au)=a{p}_V(u).$$

2. Idempotence:

$$p_V(p_V(u))=p_V(u),$$

protože pokud už jsme v $V$, další projekce nic nezmění. Formálně:

$$p_V^2=p_V.$$

3. Symetrie (pro ortogonální projekci):

$$⟨p_V(u),w⟩=⟨u,p_V(w)⟩\forall u,w\in U.$$

To znamená, že $p_V$ je samoadjunktní operátor: $p_V=p_V^{\ast }$.

Obraz a jádro

• $\mathrm{Im}(p_V)=V$: každý výsledek leží v cílovém podprostoru.
• $\ker (p_V)=V^{\perp }$: $p_V(u)=0$ právě když $u$ leží kolmo na $V$.

Díky tomu se rozkládá prostor jako přímý součet:

$$U=V\oplus V^{\perp },$$

a pro každé $u\in U$ máme jedinečný rozklad

$$u=p_V(u)+(u-p_V(u)).$$

Matice projekce

Pokud $\{b_1,\dots ,b_n\}$ je ortonormální báze podprostor $V$, pak pro libovolné $u\in U$

$$p_V(u)=\sum _{i=1}^n⟨u,b_i⟩b_i.$$

Vnější součinová forma matice projekce vůči této bázi vypadá:

$$P=B{B}^T,$$

kde $B$ je matice, jejíž sloupce jsou souřadnice $b_i$. Tato matice splňuje

$$P^2=P,P^T=P.$$

Geometrický význam

• Minimalizace: $p_V(u)$ je jediný vektor v $V$, který minimalizuje vzdálenost $\Vert u-v\Vert$.
• Stínování: V geometrii „vrháme stín“ bodu $u$ na rovinu $V$.

---

Ortogonální matice

Definice: Matice $Q\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ je ortogonální pokud $Q^{T}Q=I_n$. Věta: $Q$ je ortogonální $⟺$ sloupce tvoří ortogonální bázi ${\mathbb{R}}^n$ Tvrzení: Je-li $Q$ ortogonální, pak

1. $Q^T$ je též ortogonální,
2. $Q^{-1}$ existuje a je též ortogonální. Součin dvou ortogonálních matic dá zase ortogonální matici. Další vlastnosti:
3. $⟨Qx\mid Qy⟩=⟨x\mid y⟩$
4. $||Qx||=||x||$
5. zobrazení $x\to Qx$ zachovává úhly a délky
6. matice zobrazení zachovávající skalární součin je ortogonální
7. $\forall i,j:|Q_{i,j}|\le 1$
8. $\left(\begin{array}{cc}1& o^T\\ o& Q\end{array}\right)$ je ortogonální matice