Lineární zobrazení

Definice: Nechť $U,V$ jsou vektorové prostory nad $T$. Zobrazení $f:U\to V$ nazveme lineární pokud splňuje

1. $\forall u,v\in U:f(u+v)=f(u)+f(v)$,
2. $\forall u\in U,\forall t\in T:f(t\cdot u)=f\cdot f(u)$.

Věta: (Jednoznačnost zobrazení) Nechť $U,V$ jsou prostory nad $T$ a $B$ je báze $U$. Pak pro jakékoliv zobrazení $f_0:B\to V$ existuje jediné lineární zobrazení $f:U\to V$ rozšiřující $f_0$, t.j. $\forall b\in B:f(b)=f_0(b)$. Důkaz: Pro jakékoliv $u\in U$ existují jednoznačná $n\in {\mathbb{N}}_0$, $a_1,\dots ,a_n\in T\setminus \{0\}$ a $b_1,\dots ,b_n\in B$ taková, že $u={\sum }_{i=0}^n{a}_i{b}_i$, potom

$$f(u)=f\left(\sum a_i{b}_i\right)=\sum a_{i}f(b_i)=\sum a_i{f}_0(b_i).$$

---

Matice lineárního zobrazení

Definice: Nechť $U,V$ jsou vektorové prostory na tělesem $T$ s uspořádanými bázemi $B=(b_1,\dots ,b_n)$ a $C=(c_1,\dots ,c_m)$. Matice lineárního zobrazení $f:U\to V$ vzhledem k bázím $B,C$ je $[f{]}_{B,C}\in T^{m\times n}$ jejíž sloupce jsou vektory souřadnic obrazů vektorů báze $B$ vzhledem k bázi $C$. Tedy

$$[f{]}_{B,C}=([f(b_1){]}_C|\dots |[f(b_n){]}_C).$$

Pozorování: Mějme vektorové prostory $U,V,W$ s konečnými uspořádanými bázemi $B,C,D$. Pro matice lineárního zobrazení platí $f:U\to V$, $g:V\to W$ máme $[g\circ f{]}_{B,D}=[g{]}_{C,D}[f{]}_{B,C}$

---

Obraz a jádro lineárních zobrazení

Nechť $U$ a $V$ jsou vektorové prostory nad stejným tělesem $T$

• jádro lineárního zobrazení je $ker(f)=\{w\in U:f(w)=0\}$, tedy jsou to vektory v prostoru $U$, které se zobrazí na nulový vektor v prostoru $V$
• Isomorfismus prostorů
  • vektorové prostory jsou isomorfní, pokud mezi nimi existuje isomorfismus, tedy bijektivní (vzájemně jednoznačné) lineární zobrazení
  • pro isomorfismus $f$ platí, že existuje $f^{-1}$ a je také isomorfismem
  • isomorfní prostory mají shodné dimenze Věta: $f$ je isomorfismus, právě když $[f{]}_{X,Y}$​ je regulární