Algebraické struktury

Grupy a podgrupy

Definice: Binární operace na množině $X$ je zobrazení $X\times X\to X$. Definice: Grupa je $(G,\circ )$, kde $G$ je množina spolu s binární operací $\circ :G\times G\to G$. Taková operace musí splňovat

1. asociativitu: $\forall a,b,c\in G:(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$,
2. existenci neutrálního prvku: $\exists e\in G,\forall a\in G:a\circ e=e\circ a=a$,
3. existence inverzních prvků: $\forall a\in G,\exists b\in G:a\circ b=b\circ a=e$. Platí-li navíc komutativita $\circ$, tedy $\forall a,b\in G:a\circ b=b\circ a$, pak zveme grupu Abelovská.

Definice: Grupa $(H,\bullet )$ je podgrupou $(G,\circ )$, jestliže $H\subseteq G$ a $\forall a,b\in H:a\bullet b=a\circ b$, zapisujeme $(H,\bullet )\le (G,\circ ).$

---

Permutace

Definice: Permutace na množině $\{1,2,\dots ,n\}$ je bijektivní zobrazení $p:1,2,\dots ,n\to 1,2,\dots ,n$. Pozorování: Množina $S_n$ všech permutací na $n$ prvcích s operací skládání $\circ$ tvoří symetrickou grupu $(S_n,\circ )$. Zápis skládání: $(q\circ p)(i)=q(p(i))$.

---

Tělesa

Definice: Těleso je množina $T$ spolu se dvěma binárními operacemi $+\text{ a }\cdot ,$ kde $(T,+)$ a $(T\setminus \{0\},\cdot )$ jsou (Abelovské) grupy a navíc $\forall a,b,c\in T:a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$. Jinými slovy musí pro těleso platit:

1. $\forall a,b\in T:a+b=b+a$
2. $\forall a,b,c\in T:(a+b)+c=a+(b+c)$
3. $\exists 0\in T,\forall a\in T:a+0=a$
4. $\forall a\in T,\exists -a\in T:a+(-a)=0$
5. $\forall a,b\in T:a\cdot b=b\cdot a$
6. $\forall a,b,c\in T\setminus \{0\}:(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
7. $\exists 1\in T\setminus \{0\},\forall a\in T\setminus \{0\}:a\cdot 1=a$
8. $\forall a\in T\setminus \{0\},\exists a^{-1}\in T\setminus \{0\}:a\cdot a^{-1}=1$
9. $\forall a,b,c\in T:a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$

Věta: ${\mathbb{Z}}_p$ je těleso $⟺$ $p$ je prvočíslo. Důkaz všech axiomů je v modulární aritmetice triviální, díky vlastnostem $\mathbb{Z}$, až na existenci $a^{-1}$. Mějme $f_a:\{1,2,\dots ,p-1\}\to \{1,2,\dots ,p-1\}$ takovou, že $f_a(x)=ax\mathrm{mod}(p)$, stačí nám ukázat, že je na, což ukáže i existenci takového $x$ které v modulární aritmetice vyjde $1$. Tvrdíme, že takové zobrazení je permutace a tedy prosté a na. Pro spor předpokládejme, že není prosté, pak existují $b,c:b>c$ takové, že $f_a(b)=f_a(c)⟹0=f_a(b)-f_a(c)\equiv a(b-c)\mathrm{mod}p$, což je ale spor s výběrem $p$ jako prvočísla.