Dobré uspořádání

Definice: Říkáme že [uspořádání](mff_statnice/discrete_math/Množiny a zobrazení#Částečná uspořádání) $R$ na [třídě](mff_statnice/discrete_math/Množiny a zobrazení#Třídy) $A$ je dobré, jestliže každá neprázdná podmnožina $u\subseteq A$ má nejmenší prvek vzhledem k $R$. $A$ je dobře uspořádaná existuje-li nějaká relace $R$ dobrého uspořádání na ní.

$\omega$ je dobře uspořádaná díky relaci $\in$.

Mějme dobře uspořádanou množinu $(D,U)$. Transfinitní rekurzí definujeme na $D$ zobrazení $f$ předpisem $f(x)=\{f(d):d<x\}$, speciálně pro nulový prvek $d_0\in D$ vyjde $f(d_0)=\varnothing$. Definujeme typ této dobře uspořádané množiny jako $\text{typ}(D,U)=\{f(d):d\in D\}$. Množiny, které lze získat jako $\text{typ}(D,U)$ nějaké dobře uspořádané množiny $(D,U)$, nazveme ordinálními čísly.

Příklad: Pro $(D,U)$ na nosné množině $\{d_0,d_1,d_2\}$, kde $d_0<d_1<d_2$, se chová definice takhle:

$$f(d_0)=\varnothing ,f(d_1)=\{\varnothing \},f(d_2)=\{\varnothing ,\varnothing \},\text{typ}(D,U)=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\}.$$

Definice: Kardinální číslo (stručně kardinál) je nejmenší ordinální číslo své mohutnosti. Jde tedy o takové ordinální číslo $\alpha$, že pro žádné $\beta <\alpha$ neplatí $|\beta |=|\alpha |$.

Věta: Nechť $\alpha$ je kardinál a $\beta <\alpha$ je ordinál. Pak $|\beta |<|\alpha |$.

Věta: Pro každé nekonečné ordinální číslo $\alpha$ platí $|\alpha |=|\alpha \times \alpha |$.