Zobecněná binomická věta

Definice: Zobecněné kombinatorické číslo, mějme $r\in \mathbb{R},k\in \mathbb{N}$ pak

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{k}\right)=\frac{r\cdot (r-1)\cdot (r-2)\cdot \cdots \cdot (r-k+1)}{k!}.$$

Zobecněná binomická věta

Nechť $x,y,r\in \mathbb{R}$ a $|x|>|y|$ (pro konvergenci). Pak zobecněná binomická věta je výraz:

$$(x+y{)}^r=\sum _{k=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{k})x^{r-k}{y}^k$$

Důsledek: Pro záporné $n$ exponent dostáváme

$$(1-x{)}^n=\sum _{i=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(-x{)}^i=\sum _{i=0}^{\infty }\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \cdots \cdot (n-i+1)}{i!}(-x{)}^i$$

$x$ má u sebe přesně $i$ krát $-1$, kterými můžeme přenásobit každý prvek čitatele

$$\sum _{i=0}^{\infty }\frac{-n\cdot (1-n)\cdot (2-n)\cdot \cdots \cdot (-n+i-1)}{i!}{x}^i=\sum _{i=0}^{\infty }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-n+i-1}{i}\right)x^i,$$

všechny záporné členy kvůli $n$ jsou nyní kladnými s $(-n+i-1)$ jako největším.

$$\sum _{i=0}^{\infty }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-n+i-1}{i}\right)x^i=\sum _{i=0}^{\infty }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-n+i-1}{-n-1}\right)x^i$$

Příklad: Mějme v krabici $30$ červených, $40$ žlutých a 50 zelených míčků. Kolika způsoby můžeme zvolit $70$ míčků.

Řešení: Zvolme řady odpovídající barvám míčků: Červená: $(1+x+x^2+\cdots +x^{30})=\frac{1-x^{31}}{1-x}$ Žlutá: $(1+x+x^2+\cdots +x^{40})$ = $\frac{1-x^{41}}{1-x}$ Zelená: $(1+x+x^2+\cdots +x^{50})=\frac{1-x^{51}}{1-x}$ Roznásobením mezi sebou dostaneme koeficient u $x^{70}$, který je náš hledaný výsledek:

$$\begin{array}{r}(1+x+x^2+\cdots +x^{30})(1+x+x^2+\cdots +x^{40})(1+x+x^2+\cdots +x^{50})=\\ =\frac{1-x^{31}}{1-x}\frac{1-x^{41}}{1-x}\frac{1-x^{51}}{1-x}=\frac{1}{(1-x{)}^3}\cdot (1-x^{31})\cdot (1-x^{41})\cdot (1-x^{51})\end{array}$$

$\frac{1}{(1-x{)}^3}=(1-x{)}^{-3}$ se dá aplikovat zobecněná binomická věta a získáme

$$\left[\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)x+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)x^2+\dots \right]\cdot (1-x^{31})\cdot (1-x^{41})\cdot (1-x^{51})$$

a tedy máme po aplikaci důsledku zobecněné binomické věty

$$1+\cdots +\left[\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3+70-1}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{72-31}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{72-41}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{72-51}{2}\right)\right]x^{70}+\dots$$

což vede na výsledek $1061$. Binomická čísla vypadají u $x^{70}$ tak jak vypadají, protože vynásobíme-li to mezi sebou tak máme či nemáme posun o $31$ a tedy posuny hýbou s možnými zvolenými koeficienty, a mezi sebou se nekombinují, protože libovolné dva posuny už posouvají o více než 70 pozic, tedy jsou irelevantní pro náš koeficient.