Vytvořující funkce

Definice: Mocninná řada je nekonečná řada ve tvaru $a(x)={\sum }_{i=0}^{\infty }{a}_i{x}^i$, kde $\forall i\in \mathbb{N}:a_i\in \mathbb{R}$.

Pro $a_0=a_1=\cdots =1\mapsto 1+x+x^2+\dots$ , kde pro $|x|<1$ řada konverguje k $\frac{1}{1-x}$, tedy $(1,1,\dots )\approx \frac{1}{1-x}$. Protože:

$$\begin{array}{rl}S(x)& =\sum _{i=0}^{\infty }{a}_n{x}^n\\ S(x)& =1+x+x^2+\dots \\ (1-x)S(x)& =(1-x)(1+x+x^2+\dots )\\ (1-x)S(x)& =(1+x+x^2+\dots )-(x+x^2+x^3+\dots )\\ S(x)& =\frac{1}{1-x}\end{array}$$

Definice: Nechť $(a_1,a_2,\dots )$ je posloupnost reálných čísel. Vytvořující (generující) funkce této posloupnosti je mocninná řada $a(x)={\sum }_{i=0}^{\infty }{a}_i{x}^i$.

operace	řada	úprava
součet	$\forall i\in \mathbb{N}:a_i+b_i$	$a(x)+b(x)$
násobení konstantou	$\forall i\in \mathbb{N}:\alpha a_i$	$\alpha a(x)$
posun doprava	$0,a_0,a_1,\dots$	$xa(x)$
posun doleva	$a_1,a_2,a_3\dots$	$\frac{a(x)-a_0}{x}$
substituce $\alpha x$	${\sum }_{i=0}^{\infty }{a}_i{\alpha }^i{x}^i$	$a(\alpha x)$
substituce $x^n$	$a_0,0,\stackrel{n-1}{\dots },a_1,0,\stackrel{n-1}{\dots },a_2,\dots$	$a(x^n)$
derivace	$a_1,2a_2,3a_3,\dots$	$a^{\prime }(x)$
integrování	${\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{1}{i+1}{a}_i{x}^{i+1}$	${\int }_0^{x}a(t)\text{ d}t$
konvoluce	$c_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k\cdot b_{n-k}$	$c(x)=a(x)\cdot b(x)$
Příklady užitečných výrazů a řad:
${\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^n=(1,1,1,1,...)=\frac{1}{1-x}$

${\sum }_{n=0}^{\infty }(ax{)}^n=(a^0,a^1,a^2,a^3,...)=\frac{1}{1-ax}$

${\sum }_{n=0}^{\infty }(x^2{)}^n=(1,0,1,0,...)=\frac{1}{1-x^2}$

${\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^n=(1,-1,1,-1,...)=\frac{1}{1+x}$