Řady

Definice: Nekonečná řada je výraz

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n=a_1+a_2+a_3+\cdots$$

kde $(a_n)$ je posloupnost reálných čísel. Její $n$-tý částečný součet

$$s_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$$

a vlastní součet řady je

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n$$

pokud tato limita existuje.

Definice: Řada je konvergentní, pokud $(s_n)$ konverguje k vlastní limitě, a divergentní, jestliže limita neexistuje nebo je nevlastní.

---

Příklad: Geometrická řada s kvocientem $q$ je

$$\sum _{n=0}^{\infty }{q}^n=1+q+q^2+q^3+\cdots .$$

Pro $q\ne 1$ je její $n$-tý částečný součet

$$s_n=1+q+q^2+\cdots +q^{n-1}=\frac{q^n-1}{q-1},$$

a tedy

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{1-q},& |q|<1,\\ +\infty ,& q>1,\\ \text{neexistuje},& q\le -1.\end{array}$$

Příklad: Harmonická řada je

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots .$$

Podle integrálního kritéria konvergence konverguje

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}$$

právě pro $s>1$ a diverguje pro $s\le 1$. V případě $s=1$ (harmonická řada) tedy řada diverguje, i když její členy $\frac{1}{n}$ konvergují k nule.