Riemannův integrál jedno- i vícerozměrný

Definice: Nechť $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ je omezená. Zvolíme rozklad intervalu:

$$P=\{x_0=a<x_1<\cdots <x_n=b\}$$

Pro každý interval $[x_{i-1},x_i]$ definujeme:

• dolní součet: $s(f,P)={\sum }_{i=1}^n{m}_i\Delta x_i$, kde $m_i={\inf }_{x\in [x_{i-1},x_i]}f(x)$
• horní součet: $S(f,P)={\sum }_{i=1}^n{M}_i\Delta x_i$, kde $M_i={\sup }_{x\in [x_{i-1},x_i]}f(x)$

Poznámka:

$$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}\text{ je deˊlka i-teˊho podintervalu.}$$

Definice: Funkce $f$ je Riemannovsky integrovatelná, pokud existuje:

$${\int }_a^{b}f(x)dx:=\underset{\Vert P\Vert \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f(c_i)\Delta x_i$$

kde $c_i\in [x_{i-1},x_i]$ a limita existuje.

Poznámka: Pokud se dolní a horní součet sbíhají ke stejné hodnotě, říkáme, že $f$ je Riemannovsky integrovatelná.

Věta: Každá spojitá (nebo monotonní) funkce na uzavřeném intervalu je Riemannovsky integrovatelná.

---

Vícerozměrný Riemannův integrál

Definice: Mějme funkci $f:R\to \mathbb{R}$, kde $R=[a_1,b_1]\times \cdots \times [a_n,b_n]$ je kvádr v ${\mathbb{R}}^n$. Rozdělme každý interval $[a_k,b_k]$ na podintervaly, dostaneme rozklad kvádru $P$ na podkvádry.

• $M_i=$ suprema $f$ na $i$-tém podkvádru
• $m_i=$ infima $f$ na $i$-tém podkvádru
• $\Delta V_i=$ objem $i$-tého podkvádru

Horní součet: $S(f,P)={\sum }_i{M}_i\Delta V_i$
Dolní součet: $s(f,P)={\sum }_i{m}_i\Delta V_i$

Definice: Funkce $f$ je Riemannovsky integrovatelná na $R$, pokud:

$$\underset{P}{\sup }s(f,P)=\underset{P}{\inf }S(f,P)={\int }_{R}f(x)dx$$

kde supremum/dolní součet a infimum/horní součet se berou přes všechny rozklady $P$.

---

Vlastnosti a pravidla

• Linearita: ${\int }_R(af+bg)=a{\int }_{R}f+b{\int }_{R}g$
• Monotonicita: $f\le g\Rightarrow {\int }_{R}f\le {\int }_{R}g$
• Pokud $f$ spojitá na $R$, pak je integrovatelná
• Aditivita podle oblastí: pokud $R=A\cup B$ a $A\cap B$ má nulový objem, pak:

$${\int }_{R}f={\int }_{A}f+{\int }_{B}f$$

---

Více iterovaný integrál (Fubiniho věta)

Věta (Fubini): Pokud $f$ je spojitá na kvádru $R=[a,b]\times [c,d]$, pak platí:

$${\int }_{R}f(x,y)dxdy={\int }_a^b\left({\int }_c^{d}f(x,y)dy\right)dx={\int }_c^d\left({\int }_a^{b}f(x,y)dx\right)dy$$

Poznámka: Podmínky lze zobecnit na omezené funkce s nulovou množinou nespojitosti. Příklad:

$$f(x,y)=x+y\text{ na }R=[0,1]\times [0,2]$$ $${\int }_0^1{\int }_0^2(x+y)dydx={\int }_0^1{\left[xy+\frac{1}{2}{y}^2\right]}_{y=0}^{2}dx={\int }_0^1(2x+2)dx=[x^2+2x{]}_0^1=3$$

---

Obecné oblasti v rovině a prostoru

Definice: Oblast $D\subset {\mathbb{R}}^2$ je normální vzhledem k ose $x$, pokud existují spojité funkce $\alpha (x),\beta (x)$ tak, že:

$$D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x\in [a,b],y\in [\alpha (x),\beta (x)]\}$$

Pak:

$${\int }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_a^b\left({\int }_{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)dy\right)dx$$

Poznámka: Podobně pro oblast normální vzhledem k ose $y$.

---

Příklady integrace

Příklad 2D:

$$f(x,y)=x^2+y^2,$$

na oblasti mezi parabolami $y=x^2$ a $y=\sqrt{x}$ na $x\in [0,1]$:

$${\int }_0^1{\int }_{x^2}^{\sqrt{x}}(x^2+y^2)dydx$$

Příklad 3D:

$$f(x,y,z)=x+y+z,$$

na oblasti $[0,1]\times [0,1]\times [0,1]$:

$${\int }_0^1{\int }_0^1{\int }_0^1(x+y+z)dzdydx={\int }_0^1{\int }_0^1{\left[xz+yz+\frac{1}{2}{z}^2\right]}_0^{1}dydx={\int }_0^1{\int }_0^1(x+y+1/2)dydx$$ $$={\int }_0^1{\left[xy+\frac{1}{2}{y}^2+\frac{1}{2}y\right]}_0^{1}dx={\int }_0^1(x+1/2+1/2)dx={\int }_0^1(x+1)dx=[\frac{1}{2}{x}^2+x{]}_0^1=1.5$$