Definice: Posloupnost reálných čísel je zobrazení z do

Definice: Posloupnost je omezená, pokud existuje takové, že

Je monotónní, pokud je neklesající

nebo nerostoucí

Definice: Říkáme, že je (vlastní) limita posloupnosti , pokud pro každé existuje takové, že

Zapisujeme

Definice: Posloupnost má (nevlastní) limitu , pokud pro každé existuje takové, že

a analogicky pro .

Poznámka: Vlastní limita je “normální” limita, kdy se členy posloupnosti přibližují konečnému reálnému číslu. Nevlastní limita vyjadřuje, že hodnoty rostou (resp. klesají) neomezeně a limitu nemají v reálných číslech.


Aritmetika limit

Věta: (Aritmetika limit) Nechť

Pak platí: 1.

  1. pokud pro , pak

Důkaz: Nechť .

  1. Protože , existuje takové, že

A protože , existuje takové, že

Položme . Pak pro platí

což dokazuje bod 1.

  1. Nechť navíc existuje tak, že pro . Pro máme

Zde jsme volili tak, aby a tak, aby

  1. Protože , existuje takové, že

Pro platí

Tím je dokázán bod 3.


Limity a uspořádání

Věta: (Limity a uspořádání) Nechť

Pak:

  1. Pokud , existuje takové, že
  1. Pokud pro všechna , pak .

Důkaz:

  1. Položme

Protože , existuje tak, že pro , a protože , existuje tak, že pro . Pro máme

tedy .

  1. Předpokládejme sporem, že . Pak podle bodu 1 by pro dostatečně velká platilo , což je v rozporu s předpokladem . Tudíž .

O dvou policajtech

Věta: (O dvou policajtech) Nechť

a existuje takové, že

Pak

Důkaz: Nechť . Protože , existuje tak, že

a protože , existuje tak, že

Nechť . Pro pak z plyne

tedy , což ukazuje, že .