Posloupnosti reálných čísel a jejich limity

Definice: Posloupnost reálných čísel $(a_n)$ je zobrazení $n\mapsto a_n$ z $\mathbb{N}$ do $\mathbb{R}.$

Definice: Posloupnost $(a_n)$ je omezená, pokud existuje $K\in \mathbb{R}$ takové, že

$$|a_n|<K\forall n\in \mathbb{N}.$$

Je monotónní, pokud je neklesající

$$a_n\le a_m\text{pro }n<m,$$

nebo nerostoucí

$$a_n\ge a_m\text{pro }n<m.$$

Definice: Říkáme, že $A\in \mathbb{R}$ je (vlastní) limita posloupnosti $(a_n)$, pokud pro každé $\epsilon >0$ existuje $n_0\in \mathbb{N}$ takové, že

$$|a_n-A|<\epsilon \forall n\ge n_0.$$

Zapisujeme

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=A.$$

Definice: Posloupnost $(a_n)$ má (nevlastní) limitu $+\infty$, pokud pro každé $K\in \mathbb{R}$ existuje $n_0\in \mathbb{N}$ takové, že

$$a_n>K\forall n\ge n_0,$$

a analogicky pro $-\infty$.

Poznámka: Vlastní limita je “normální” limita, kdy se členy posloupnosti přibližují konečnému reálnému číslu. Nevlastní limita vyjadřuje, že hodnoty rostou (resp. klesají) neomezeně a limitu nemají v reálných číslech.

---

Aritmetika limit

Věta: (Aritmetika limit) Nechť

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a\in {\mathbb{R}}^{\ast },\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=b\in {\mathbb{R}}^{\ast }.$$

Pak platí: 1.

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(a_n+b_n)=a+b,$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(a_n{b}_n)=ab,$$

3. pokud $b_n\ne 0$ pro $n\gg 0$, pak

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}.$$

Důkaz: Nechť $\epsilon >0$.

4. Protože $a_n\to a$, existuje $N_1$ takové, že

$$|a_n-a|<\frac{\epsilon }{2}\forall n\ge N_1.$$

A protože $b_n\to b$, existuje $N_2$ takové, že

$$|b_n-b|<\frac{\epsilon }{2}\forall n\ge N_2.$$

Položme $N=\max (N_1,N_2)$. Pak pro $n\ge N$ platí

$$|(a_n+b_n)-(a+b)|\le |a_n-a|+|b_n-b|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon ,$$

což dokazuje bod 1.

2. Nechť navíc existuje $M$ tak, že $|b_n|\le M$ pro $n\ge N_2$. Pro $n\ge N$ máme

$$\begin{array}{rl}& |a_n{b}_n-ab|=|a_n{b}_n-a{b}_n+a{b}_n-ab|\le \\ & \le |a_n-a||b_n|+|a||b_n-b|<M\frac{\epsilon }{2M}+|a|\frac{\epsilon }{2|a|}=\epsilon .\end{array}$$

Zde jsme volili $N_1$ tak, aby $|a_n-a|<\frac{\epsilon }{2M}$ a $N_2$ tak, aby $|b_n-b|<\frac{\epsilon }{2|a|}.$

3. Protože $b_n\to b\ne 0$, existuje $N_3$ takové, že

$$|b_n-b|<\frac{|b|}{2}\forall n\ge N_3⟹|b_n|>\frac{|b|}{2}.$$

Pro $n\ge N^{\prime }=\max (N_1,N_2,N_3)$ platí

$$\begin{array}{rl}& \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{a}{b}\right|=\frac{|a_{n}b-a{b}_n|}{|b{b}_n|}=\frac{|(a_n-a)b-a(b_n-b)|}{|b{b}_n|}\le \\ & \le \frac{|b||a_n-a|+|a||b_n-b|}{|b|(|b|/2)}<\epsilon .\end{array}$$

Tím je dokázán bod 3.

---

Limity a uspořádání

Věta: (Limity a uspořádání) Nechť

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a\in \mathbb{R},\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=b\in \mathbb{R}.$$

Pak:

1. Pokud $a<b$, existuje $n_0$ takové, že

$$a_n<b_n\forall n>n_0.$$

2. Pokud $a_n\le b_n$ pro všechna $n>n_0$, pak $a\le b$.

Důkaz:

1. Položme

$$\delta =\frac{b-a}{2}>0.$$

Protože $a_n\to a$, existuje $N_1$ tak, že $|a_n-a|<\delta$ pro $n\ge N_1$, a protože $b_n\to b$, existuje $N_2$ tak, že $|b_n-b|<\delta$ pro $n\ge N_2$. Pro $n\ge N=\max (N_1,N_2)$ máme

$$a_n<a+\delta =\frac{a+b}{2}<b-\delta <b_n,$$

tedy $a_n<b_n$.

2. Předpokládejme sporem, že $a>b$. Pak podle bodu 1 by pro dostatečně velká $n$ platilo $a_n>b_n$, což je v rozporu s předpokladem $a_n\le b_n$. Tudíž $a\le b$.

---

O dvou policajtech

Věta: (O dvou policajtech) Nechť

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=a\in \mathbb{R}$$

a existuje $n_0$ takové, že

$$a_n\le c_n\le b_n\forall n>n_0.$$

Pak

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n=a.$$

Důkaz: Nechť $\epsilon >0$. Protože $a_n\to a$, existuje $N_1$ tak, že

$$a-\epsilon <a_n<a+\epsilon \forall n\ge N_1,$$

a protože $b_n\to a$, existuje $N_2$ tak, že

$$a-\epsilon <b_n<a+\epsilon \forall n\ge N_2.$$

Nechť $N=\max (N_1,N_2,n_0)$. Pro $n\ge N$ pak z $a_n\le c_n\le b_n$ plyne

$$a-\epsilon <c_n<a+\epsilon ,$$

tedy $|c_n-a|<\epsilon$, což ukazuje, že $c_n\to a$.