Definice: Posloupnost reálných čísel je zobrazení z do
Definice: Posloupnost je omezená, pokud existuje takové, že
Je monotónní, pokud je neklesající
nebo nerostoucí
Definice: Říkáme, že je (vlastní) limita posloupnosti , pokud pro každé existuje takové, že
Zapisujeme
Definice: Posloupnost má (nevlastní) limitu , pokud pro každé existuje takové, že
a analogicky pro .
Poznámka: Vlastní limita je “normální” limita, kdy se členy posloupnosti přibližují konečnému reálnému číslu. Nevlastní limita vyjadřuje, že hodnoty rostou (resp. klesají) neomezeně a limitu nemají v reálných číslech.
Aritmetika limit
Věta: (Aritmetika limit) Nechť
Pak platí: 1.
- pokud pro , pak
Důkaz: Nechť .
- Protože , existuje takové, že
A protože , existuje takové, že
Položme . Pak pro platí
což dokazuje bod 1.
- Nechť navíc existuje tak, že pro . Pro máme
Zde jsme volili tak, aby a tak, aby
- Protože , existuje takové, že
Pro platí
Tím je dokázán bod 3.
Limity a uspořádání
Věta: (Limity a uspořádání) Nechť
Pak:
- Pokud , existuje takové, že
- Pokud pro všechna , pak .
Důkaz:
- Položme
Protože , existuje tak, že pro , a protože , existuje tak, že pro . Pro máme
tedy .
- Předpokládejme sporem, že . Pak podle bodu 1 by pro dostatečně velká platilo , což je v rozporu s předpokladem . Tudíž .
O dvou policajtech
Věta: (O dvou policajtech) Nechť
a existuje takové, že
Pak
Důkaz: Nechť . Protože , existuje tak, že
a protože , existuje tak, že
Nechť . Pro pak z plyne
tedy , což ukazuje, že .