Primitivní funkce
Definice: Funkce je primitivní k na intervalu , pokud pro všechna . Zapisujeme
Metody výpočtu:
- Substituce: Pokud má vlastní derivaci a je primitivní k , pak
Inverzní substituce (Věta 10.9):
kde je primitivní k . 2. Per partes: Pro spojité s primitivními platí
Riemannův integrál
Definice: Pro dělení intervalu a funkci definujeme dolní Riemannovu sumu
a horní sumu
Pokud
říkáme, že je Riemannovsky integrovatelná a tuto hodnotu nazýváme
Newtonův integrál vs. Riemannův
Pokud je primitivní k spojitá na , pak
Aplikace integrálu
- Odhady součtu řad
- Pro neklesající na platí
- Integrální kritérium: Pro nerostoucí na konverguje právě když .
- Obsahy rovinných útvarů
Pod grafem je plocha
- Objemy a povrchy rotačních útvarů
Pro rotační těleso kolem osy pod grafem na platí
- Délka křivky
Graf má délku