Reálné funkce jedné reálné proměnné

Definice: Řekneme, že funkce $f$ má v bodě $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ limitu $A\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, pokud

$$\forall \epsilon >0\exists \delta >0:x\in P(a,\delta )\Rightarrow f(x)\in U(A,\epsilon ).$$

Zapisujeme

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A.$$

Spojitost funkce

Definice: Funkce $f$ je v bodě $a\in \mathbb{R}$ spojitá, pokud

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a).$$

Definice: Funkce $f$ je v bodě $a$

• spojitá zprava, pokud

$$\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=f(a),$$

• spojitá zleva, pokud

$$\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=f(a).$$

Zjevně je $f$ v bodě $a$ spojitá právě tehdy, když je spojitá zleva i zprava.

Definice: Funkce $f:I\to \mathbb{R}$ je spojitá na intervalu $I$ právě tehdy, je-li spojitá v každém vnitřním bodě a v krajních bodech jednostranně spojitá.

Okolí a prstencová okolí bodu

Definice: Pro bod $a\in \mathbb{R}$ a $\delta >0$ je $\delta$-okolí bodu $a$ definováno jako

$$U(a,\delta )=(a-\delta ,a+\delta )=\{x\in \mathbb{R}\mid |x-a|<\delta \}.$$

Definice: Prstencové okolí bodu $a$ (tj. okolí bez samotného bodu) je

$$P(a,\delta )=U(a,\delta )\setminus \{a\}.$$

Definice: Pravé a levé okolí bodu $a$ a jejich prstencové verze:

$$U^{+}(a,\delta )=[a,a+\delta ),U^{-}(a,\delta )=(a-\delta ,a],$$ $$P^{+}(a,\delta )=U^{+}(a,\delta )\setminus \{a\},P^{-}(a,\delta )=U^{-}(a,\delta )\setminus \{a\}.$$

Definice: Pro „okolí“ nekonečna používáme analogii:

$$U(+\infty ,\delta )=(\frac{1}{\delta },\infty ),U(-\infty ,\delta )=(-\infty ,-\frac{1}{\delta }),$$

a prstencová okolí nekonečen jsou stejná jako jejich obyčejná okolí.

---

Jednoznačnost limity funkce

Věta: (Jednoznačnost limity funkce) Funkce může mít v daném bodě nejvýše jednu limitu.
Důkaz: Nechť by existovaly dvě různé limity $A\ne B$. Zvolme $\epsilon >0$ tak malé, že $U(A,\epsilon )\cap U(B,\epsilon )=\varnothing$. Musely by existovat ${\delta }_1,{\delta }_2>0$ s

$$x\in P(a,{\delta }_1)\Rightarrow f(x)\in U(A,\epsilon ),x\in P(a,{\delta }_2)\Rightarrow f(x)\in U(B,\epsilon ).$$

Pro $\delta =\min ({\delta }_1,{\delta }_2)$ by pak existovalo $x\in P(a,\delta )$ s $f(x)\in U(A,\epsilon )\cap U(B,\epsilon )$, což je spor.

---

Aritmetika limit funkcí

Věta (Heineho definice limity funkce): Nechť funkce $f$ je definovaná na prstencovém okolí

$$P(a,\delta )=(a-\delta ,a+\delta )\setminus \{a\}$$

bodu $a$ pro nějaké $\delta >0$. Následující dvě tvrzení jsou ekvivalentní: 1.

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A.$$

2. Pro každou posloupnost $(x_n)\subset P(a,\delta )$ takovou, že $x_n\ne a$ pro všechna $n\in \mathbb{N}$ a

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a,$$

platí

$$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=A.$$

Věta: (Aritmetika limit funkcí) Nechť

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A\in {\mathbb{R}}^{\ast },\underset{x\to a}{\lim }g(x)=B\in {\mathbb{R}}^{\ast }.$$

Pak

1. ${\lim }_{x\to a}(f(x)+g(x))=A+B$, je-li součet definován.
2. ${\lim }_{x\to a}(f(x)g(x))=AB$, je-li součin definován.
3. Jestliže $g(x)\ne 0$ v nějakém prstencovém okolí $a$, pak ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$.
   Důkaz: Použije se Heineova definice limity a aritmetika limit posloupností: např. pro (1) vezmeme libovolnou posloupnost $x_n\to a$, aplikujeme aritmetiku limit posloupností a pak Heineovu větu obráceně.

---

Limity funkcí a uspořádání

Věta: (Limity funkcí a uspořádání) Nechť

$$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=A,\underset{x\to c}{\lim }g(x)=B.$$

1. Pokud $A>B$, existuje $\delta >0$ takové, že $f(x)>g(x)$ pro všechna $x\in P(c,\delta )$.
2. Pokud $f(x)\ge g(x)$ pro všechna $x\in P(c,\delta )$, pak $A\ge B$.
3. Je-li navíc funkce $h$ taková, že $f(x)\le h(x)\le g(x)$ pro všechna $x\in P(c,\delta )$ a $A=B$, potom ${\lim }_{x\to c}h(x)=A$.
   Důkaz: Bod 1: zvolme $\epsilon >0$ takové, že vzdálená okolí $U(A,\epsilon )$ a $U(B,\epsilon )$ jsou disjunktní a přímou aplikací definice limity najdeme $\delta$ s požadovanou nerovností. Body 2 a 3 se pak dokazují obdobně nebo odvozují od věty o dvou policajtech.

---

Limita složené funkce

Věta: (Limita složené funkce) Nechť

$$\underset{x\to A}{\lim }g(x)=B,\underset{y\to B}{\lim }f(y)=C,$$

a buď $f$ spojitá v $B$, nebo $g(x)\ne B$ v nějakém prstencovém okolí $A$. Pak

$$\underset{x\to A}{\lim }f(g(x))=C.$$

Důkaz: Standardní $\epsilon$–$\delta$ argument s dvěma kroky (nejprve ${\delta }_1$ pro $f$, pak ${\delta }_2$ pro $g$), použití continuity condition (P1) nebo výběru prstencového okolí (P2).

---

Mezihodnotová vlastnost

Věta: (Darbouxova – mezihodnotová vlastnost) Nechť $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ je spojitá, označme

$$m=\min \{f(a),f(b)\},M=\max \{f(a),f(b)\}.$$

Pak pro každé $y\in [m,M]$ existuje $\alpha \in [a,b]$ takové, že $f(\alpha )=y$.

Důkaz: Uvažme množinu $A=\{x\in [a,b]:f(x)<y\}$, nechte $\alpha =\sup A$ a použijte jednostrannou spojitost na krajích, aby se vyvrátily obě možnosti $f(\alpha )\ne y$.

---

Princip maxima pro spojité funkce

Věta: (Princip maxima pro spojité funkce) Nechť $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ je spojitá. Pak existují $\xi ,\eta \in [a,b]$ takové, že

$$f(\xi )=\underset{x\in [a,b]}{\min }f(x),f(\eta )=\underset{x\in [a,b]}{\max }f(x).$$

Důkaz: Položme $\alpha =\sup f([a,b])$. Z kompaktu $[a,b]$ a $(f(x_n))\to \alpha$ vybereme konvergentní podposloupnost $x_{n_k}\to \xi \in [a,b]$. Podle spojitosti $f(\xi )=\alpha$, tedy maximum je dosaženo; o minimu se argumentuje analogicky.