Metrický prostor

Definice: Metrický prostor je $(X,d)$, kde $X$ je množina a $d:X\times X\to \mathbb{R}$ funkce pro kterou platí

1. $\forall x,y\in X:d(x,y)>0,d(x,y)=0⟺x=y$,
2. $\forall x,y\in X:d(x,y)=d(y,x)$,
3. $\forall x,y,z\in X:d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$. Příklady: Eukleidovský metrický prostor ${\mathbb{E}}_n$ je $(\mathbb{R},d)$, kde $d$ je definované

$$d((x_1,\dots ,x_n),(y_1,\dots ,y_n))=\sqrt{\sum _{i=1}^d(x_i-y_i{)}^2}.$$

Definice: Podprostor $(Y,\hat{d})$ prostoru $(X,d)$ je $Y\subseteq X$ a $\forall x,y\in Y:\hat{d}(x,y)=d(x,y)$.

Definice: Posloupnost $(x_n{)}_n$ v metrickém prostoru $(X,d)$ konverguje k $x$ právě tehdy, když

$$\forall ϵ>0,\exists n_0\in \mathbb{N},\forall n\in \mathbb{N},n\ge n_0:d(x_n,x)<ϵ.$$

---

Otevřené a uzavřené množiny

Definice: Nechť $(X,d)$ je metrický prostor, $x\in X$, pak okolí je množina

$$B(x,ϵ)=\{y\in X\mid d(x,y)<ϵ\}.$$

Takovému okolí se říká otevřená koule s poloměrem $ϵ$ okolo $x$.

Definice: Množina $U$ je otevřená pokud je okolím každého svého bodu. Třeba $(0,1)$ je otevřená množina v prostoru $(\mathbb{R},||)$.

Definice: Množina $V$ je uzavřená, pokud $\forall (x_n{)}_n\subseteq V$ je konvergentní v $X$ a ${\lim }_n{x}_n\in V$.

Definice: Mějme metrický prostor $(X,d)$ a množinu $A\subseteq X,x\in X$, pak vzdálenost bodu $x$ od množiny $A$ je

$$d(x,A)=\inf \{d(x,a)\mid a\in A\}.$$

Definice: Uzávěrem množiny $A$ je $\overline{A}=\{x\mid d(x,A)=0\}$.

Věta: Mějme $A\subseteq \mathbb{R}$, taková $A$ je uzavřená $⟺$ $A^c$ (komplement k $A$ v $X$) je otevřená.

---

Spojitost funkce

Definice: Zobrazení $f:(X,d)\to (Y,d^{\prime })$ je spojité, pokud

$$\forall x,y\in X,\forall ϵ>0,\exists \delta >0:d(x,y)<\delta \Rightarrow d^{\prime }(f(x),f(y))<ϵ.$$

Rovnocenné charakterizace spojitosti:

• Pomocí konvergence posloupností:
  $f$ je spojitá právě když platí:

$$x_n\to x\Rightarrow f(x_n)\to f(x)$$

• Pomocí otevřených množin:
  $f$ je spojitá právě tehdy, když vzor každé otevřené množiny je otevřená množina.
• Pomocí uzavřených množin:
  Vzor uzavřené množiny je uzavřený.

---

Kompaktnost

Definice: Metrický prostor $(X,d)$ je kompaktní, pokud každá posloupnost v něm obsahuje konvergentní podposloupnost.

Věta: Podprostor kompaktního prostoru je kompaktní právě když je uzavřený.

Definice: Množina $A\subseteq X$ v metrickém prostoru $(X,d)$ je omezená, pokud existuje číslo $0<M$ a bod $x_0\in X$, že

$$\forall x\in A:d(x,x_0)<M.$$

Tvrzení: Každý kompaktní prostor je omezený.

Věta: Podprostor euklidovského prostoru ${\mathbb{E}}_n$ je kompaktní právě když je uzavřený a omezený.

Tvrzení: Buď $f:(X,d)\to (Y,d^{\prime })$ spojité zobrazení a buď $A\subseteq X$ kompaktní. Potom je $f[A]$ kompaktní.

Tvrzení: Buď $(X,d)$ kompaktní. Potom každá spojitá funkce $f:(X,d)\to R$ nabývá maxima i minima (t.j. nejsou nekonečné).

Příklad: Mějme funkci $f(x,y)=x^2+y$ definovanou na množině

$$D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x^2+y^2\le 1\}.$$

Množina $D\subseteq {\mathbb{R}}^2$ je kompaktní, protože je uzavřená a omezená. Funkce $f$ je spojitá jako součet spojitých funkcí. Podle věty o spojitém zobrazení na kompaktním prostoru tedy $f$ nabývá minima i maxima.

Hledání extrémů: Spočteme gradient:

$$\nabla f(x,y)=(2x,1).$$

Neexistuje bod, kde by byl gradient nulový, protože $\frac{\partial f}{\partial y}=1\ne 0$. Uvnitř množiny tedy žádný stacionární bod není. Hledáme extrémy na hranici $x^2+y^2=1$. Použijeme parametrizaci:

$$x=\cos t,y=\sin t,t\in [0,2\pi ],$$

pak:

$$f(\cos t,\sin t)={\cos }^{2}t+\sin t=1-{\sin }^{2}t+\sin t=-{\sin }^{2}t+\sin t+1.$$

Označíme $s=\sin t$, pak hledáme extrémy funkce:

$$g(s)=-s^2+s+1,s\in [-1,1].$$

Parabola má maximum ve vrcholu:

$$s=\frac{1}{2},g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{4},$$

krajní hodnoty jsou:

$$g(-1)=-1,g(1)=1.$$

Závěr:

$$\max f(x,y)=\frac{5}{4},\text{naprˇ. v bodeˇ }\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right),$$ $$\min f(x,y)=-1,\text{v bodeˇ }(0,-1).$$

Funkce tedy dosahuje globálního extrému, což je důsledek kompaktnosti definiční množiny.

---

Stejnoměrná spojitost

Definice: Řekneme, že $f:(X,d)\to (Y,d^{\prime })$ je stejnoměrně spojité, je-li

$$(\forall ϵ>0)(\exists \delta >0)(\forall x,y\in X):d(x,y)<\delta \Rightarrow d^{\prime }(f(x),f(y))<ϵ.$$

Poznámka: Rozdíl oproti obyčejné spojitosti je v tom, že volba $\delta$ závisí pouze na $\epsilon$, ne na konkrétním bodě $x\in X$. Tedy „funguje stejně dobře všude“. Tedy každá stejnoměrně spojitá funkce je spojitá, ale opačně to obecně neplatí.

Příklad: $f(x)=x^2$ je příkladem spojité, stejnoměrně nespojité funkce.

Věta: Je-li $(X,d)$ kompaktní, je každé spojité $f:(X,d)\to (Y,d^{\prime })$ stejnoměrně spojité. Zejména to platí pro spojité reálné funkce na kompaktních intervalech.