Integrály

Primitivní funkce

Definice: Funkce $F$ je primitivní k $f$ na intervalu $I$, pokud $F^{\prime }(x)=f(x)$ pro všechna $x\in I$. Zapisujeme

$$\int f(x)dx=F(x)+c.$$

Metody výpočtu:

1. Substituce: Pokud $\phi :(\alpha ,\beta )\to (a,b)$ má vlastní derivaci a $F$ je primitivní k $f$, pak

$$\int f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt=F(\phi (t))+c.$$

Inverzní substituce (Věta 10.9):

$$\int f(x)dx=G({\phi }^{-1}(x))+c,$$

kde $G$ je primitivní k $f\circ \phi$. 2. Per partes: Pro spojité $f,g$ s primitivními $F,G$ platí

$$\int f(x)G(x)dx+\int F(x)g(x)dx=F(x)G(x)+c.$$

---

Riemannův integrál

Definice: Pro dělení $D=(a_0,\dots ,a_k)$ intervalu $[a,b]$ a funkci $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ definujeme dolní Riemannovu sumu

$$s(f,D)=\sum _{i=0}^{k-1}(a_{i+1}-a_i)\underset{x\in [a_i,a_{i+1}]}{\inf }f(x),$$

a horní sumu

$$S(f,D)=\sum _{i=0}^{k-1}(a_{i+1}-a_i)\underset{x\in [a_i,a_{i+1}]}{\sup }f(x).$$

Pokud

$$\underset{D}{\sup }s(f,D)=\underset{D}{\inf }S(f,D)\in \mathbb{R},$$

říkáme, že $f$ je Riemannovsky integrovatelná a tuto hodnotu nazýváme

$${\int }_a^{b}f(x)dx.$$

Newtonův integrál vs. Riemannův

Pokud $F$ je primitivní k $f$ spojitá na $[a,b]$, pak

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a).$$

---

Aplikace integrálu

1. Odhady součtu řad

• Pro neklesající $f$ na $[1,n]$ platí

$$\sum _{k=1}^{n-1}f(k)\le {\int }_1^{n}f(x)dx\le \sum _{k=2}^{n}f(k).$$

• Integrální kritérium: Pro nerostoucí $f\ge 0$ na $[1,\infty )$ konverguje $\sum f(k)$ právě když ${\int }_1^{\infty }f(x)dx<\infty$.

2. Obsahy rovinných útvarů
   Pod grafem $U(a,b,f)=\{(x,y):a\le x\le b,0\le y\le f(x)\}$ je plocha

$$\mathrm{area}(U)={\int }_a^{b}f(x)dx.$$

3. Objemy a povrchy rotačních útvarů
   Pro rotační těleso kolem osy $x$ pod grafem $y=f(x)\ge 0$ na $[a,b]$ platí

$$\mathrm{Vol}(V)=\pi {\int }_a^b(f(t){)}^{2}dt,\mathrm{Area}(\partial V)=2\pi {\int }_a^{b}f(t)\sqrt{1+(f^{\prime }(t){)}^2}dt.$$

4. Délka křivky
   Graf $G=\{(x,f(x)):a\le x\le b\}$ má délku

$$L={\int }_a^b\sqrt{1+(f^{\prime }(t){)}^2}dt.$$